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2.(2008全國(guó)二21)．(本小題滿分12分)

設(shè)，函數(shù)．

(Ⅰ)若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值；

(Ⅱ)若函數(shù)，在處取得最大值，求的取值范圍．

解：(Ⅰ)．

因?yàn)?sub>是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，即，因此．

經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，是函數(shù)的極值點(diǎn)．············· 4分

(Ⅱ)由題設(shè)，．

當(dāng)在區(qū)間上的最大值為時(shí)，

，　 即．故得．··············· 9分

反之，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，

，

而，故在區(qū)間上的最大值為．

綜上，的取值范圍為．······················ 12分

1.(2008全國(guó)一21)．(本小題滿分12分)(注意：在試題卷上作答無(wú)效)

已知函數(shù)，．

(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，求的取值范圍．

解：(1)

求導(dǎo)：

當(dāng)時(shí)，，

在上遞增

當(dāng)，求得兩根為

即在遞增，遞減，

遞增

(2)，且 　　解得：

3．理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件(導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào))；會(huì)求一些實(shí)際問(wèn)題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值．

2．熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則．了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

導(dǎo)數(shù)屬于新增內(nèi)容，是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要的交匯點(diǎn)，命題范圍非常廣泛，為高考考查函數(shù)提供了廣闊天地，處于一種特殊的地位，不但一定出大題而相應(yīng)有小題出現(xiàn)。主要考查導(dǎo)數(shù)有關(guān)的概念、計(jì)算和應(yīng)用。利用導(dǎo)數(shù)工具研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，把導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于單調(diào)性、極值等傳統(tǒng)、常規(guī)問(wèn)題的同時(shí)，進(jìn)一步升華到處理與自然數(shù)有關(guān)的不等式的證明，是函數(shù)知識(shí)和不等式知識(shí)的一個(gè)結(jié)合體，它的解題又融合了轉(zhuǎn)化、分類討論、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想與方法，不但突出了能力的考查，同時(shí)也注意了高考重點(diǎn)與熱點(diǎn)，這一切對(duì)考查考生的應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識(shí)都大有益處。

1．了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景(如瞬時(shí)速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等)；掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念．

(二)考點(diǎn)預(yù)測(cè)題

1. (2007年山東高考真題模擬試卷八，理科，22)

橢圓G：的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(－c，0)、F2(c，0)，M是橢圓上的

一點(diǎn)，且滿足

(Ⅰ)求離心率e的取值范圍；

(Ⅱ)當(dāng)離心率e取得最小值時(shí)，點(diǎn)N(0，3)到橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為求此時(shí)

橢圓G的方程；(ⅱ)設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓G相交于不同的兩點(diǎn)A、B，Q

為AB的中點(diǎn)，問(wèn)A、B兩點(diǎn)能否關(guān)于過(guò)點(diǎn)的直線對(duì)稱？若能，求出k的取值

范圍；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

[答案](I)設(shè)M(x0，y0)

　　　　　　　　 ①

又　 ②

由②得代入①式整理得

又

解得

(Ⅱ)(i)當(dāng)

設(shè)H(x，y)為橢圓上一點(diǎn)，則

若0

由(舍去)

若b≥3，當(dāng)y=－3時(shí)，|HN|2有最大值2b2+18

由2b2+18=50得b2=16

∴所求橢圓方程為

(ii)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)，則由

　　　　 　�、�

又直線PQ⊥直線l　　 ∴直線PQ方程為

將點(diǎn)Q(x0，y0)代入上式得，　　 ④

由③④得Q

(解1)而Q點(diǎn)必在橢圓內(nèi)部　

由此得

故當(dāng)時(shí)A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱.

(解2)∴AB所在直線方程為

由得

顯然1+2k2≠0

而

直線l與橢圓有兩不同的交點(diǎn)A、B　 ∴△＞0

解得

故當(dāng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱。

(ii)另解；設(shè)直線l的方程為y=kx+b

由得

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，Q(x0，y0)，則

　　　 ③

又直線PQ⊥直線l　　 ∴直線PQ方程為

將點(diǎn)Q(x0，y0)代入上式得，　　 ④

將③代入④⑤

∵x1，x2是(*)的兩根

⑥

⑤代入⑥得

∴當(dāng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)P、Q的直線對(duì)稱

2．(2007年山東高考真題模擬試卷十一，理科，22)

雙曲線M的中心在原點(diǎn)，并以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以拋物線的

準(zhǔn)線為右準(zhǔn)線.

(Ⅰ)求雙曲線M的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線： 與雙曲線M相交于A、B兩點(diǎn)，O是原點(diǎn).

① 當(dāng)為何值時(shí)，使得?

② 是否存在這樣的實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

[答案](Ⅰ)易知，橢圓的半焦距為：，

　又拋物線的準(zhǔn)線為：.

設(shè)雙曲線M的方程為，依題意有，

故，又.

∴雙曲線M的方程為.

(Ⅱ)設(shè)直線與雙曲線M的交點(diǎn)為、兩點(diǎn)

聯(lián)立方程組 消去y得　 ，

∵、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是上述方程的兩個(gè)不同實(shí)根， ∴

∴，從而有

，.

又，

∴.

① 若，則有 ，即 .

∴當(dāng)時(shí)，使得.

② 若存在實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則必有 ，

因此，當(dāng)m=0時(shí)，不存在滿足條件的k；

當(dāng)時(shí)，由 得

∵A、B中點(diǎn)在直線上，

∴ 代入上式得

；又， ∴

將代入并注意到，得 .

∴當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱.

3．(2008年山東卷，理科，22)

如圖，設(shè)拋物線方程為為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為

(I)求證：三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；

(II)已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求此時(shí)拋物線的方程；

(III)是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上，其中點(diǎn)滿足(為坐標(biāo)原點(diǎn))。若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

[答案](I)證明：由題意設(shè)，，

，

所以三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列。

(II)解：由(I)知，

所以是方程的兩根，

或

因此所求拋物線方程為或

(III)解：設(shè)由題意得，則中點(diǎn)坐標(biāo)為

設(shè)直線的方程為

與都在上，代入得.

若在拋物線上，則即.

1)當(dāng)

2)當(dāng)

(1)對(duì)于

矛盾.

(2)對(duì)于，，則與軸平行，而直線不垂直矛盾。

綜上可知，僅存在一點(diǎn)適合題意.

(一)文字介紹

圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn)之一.高考對(duì)圓錐曲線的考查，總體上是以知識(shí)應(yīng)用和問(wèn)題探究為主，一般是給出曲線方程，討論曲線的基本元素和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)；或給出曲線滿足的條件，判斷(求)其軌跡；或給出直線與曲線、曲線與曲線的位置關(guān)系，討論與其有關(guān)的其他問(wèn)題(如直線的方程、直線的條數(shù)、弦長(zhǎng)、曲線中參變量的取值范圍等)；或考查圓錐曲線與其他知識(shí)綜合(如不等式、函數(shù)、向量、導(dǎo)數(shù)等)的問(wèn)題等.

8. (遼寧省撫順一中2009屆高三第一次模擬考試，理科，21)

橢圓ax2+by2 =1與直線x+y-1=0相交于A、B兩點(diǎn)，若|AB|=2，線段AB的中點(diǎn)為C，且OC的斜率為，求橢圓方程.

[解析]聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式求出a，b的關(guān)系，再由弦長(zhǎng)公式求出a，b的值，即得所求橢圓的方程.

[答案]∴(a+b)x2 -2bx+b-1=0

∴

C()

KOC =∴b=a，

代入|AB|=2，即：(1+k2)[(x1+x2)2-4 x1x2]=8

a=，b=

∴橢圓方程為：x2+y2 =1

7. (江蘇省鹽城一中、大豐中學(xué)、建湖中學(xué)2009屆高三第二次調(diào)研考試， 21)

拋物線的準(zhǔn)線的方程為，該拋物線上的每個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離都與到定點(diǎn)N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時(shí)與直線 相切的圓，

(Ⅰ)求定點(diǎn)N的坐標(biāo)；

(Ⅱ)是否存在一條直線同時(shí)滿足下列條件：

① 分別與直線交于A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)為；

② 被圓N截得的弦長(zhǎng)為．

[解析](1)由拋物線的定義易得；

(2)假設(shè)存在直線，設(shè)出直線的方程為，.

方法1：由弦心距的長(zhǎng)為1求出的值，然后檢驗(yàn)是否符合AB中點(diǎn)為這個(gè)條件；

方法2：將直線的方程分別與直線的方程聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出的值，最后檢驗(yàn)弦心距的長(zhǎng)是否為1；

方法3：設(shè)出A點(diǎn)的坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和B點(diǎn)在上，求出的值，進(jìn)而求出直線的斜率，最后檢驗(yàn)弦心距的長(zhǎng)是否為1.

[答案](1)因?yàn)閽佄锞�的準(zhǔn)線的方程為

所以，根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)N是拋物線的焦點(diǎn)，

所以定點(diǎn)N的坐標(biāo)為

(2)假設(shè)存在直線滿足兩個(gè)條件，顯然斜率存在，

設(shè)的方程為，

以N為圓心，同時(shí)與直線 相切的圓N的半徑為，

方法1：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/252785/1010jiajiao.files/image002.gif">被圓N截得的弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線的距離等于1，

即，解得，

當(dāng)時(shí)，顯然不合AB中點(diǎn)為的條件，矛盾！

當(dāng)時(shí)，的方程為

由，解得點(diǎn)A坐標(biāo)為，

由，解得點(diǎn)B坐標(biāo)為，

顯然AB中點(diǎn)不是，矛盾！

所以不存在滿足條件的直線．

方法2：由，解得點(diǎn)A坐標(biāo)為，

由，解得點(diǎn)B坐標(biāo)為，

因?yàn)锳B中點(diǎn)為，所以，解得，

所以的方程為，

圓心N到直線的距離，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/252785/1010jiajiao.files/image002.gif">被圓N截得的弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線的距離等于1，矛盾！

所以不存在滿足條件的直線．

方法3：假設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為，

因?yàn)锳B中點(diǎn)為，所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為，

又點(diǎn)B 在直線上，所以，

所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為4，

所以的方程為，

圓心N到直線的距離，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/252785/1010jiajiao.files/image002.gif">被圓N截得的弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線的距離等于1，矛盾！

所以不存在滿足條件的直線．

6. (山東省文登市2009屆高三第三次月考試題，理科，21)

過(guò)點(diǎn)作傾斜角為的直線，交拋物線：于兩點(diǎn)，且

成等比數(shù)列。⑴求的方程；⑵過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于

兩點(diǎn)。設(shè)，與的夾角為，

求證：。

[解析]⑴設(shè)，聯(lián)立直線與拋物線的方程

后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系可得到關(guān)于的方程，解之即得

的方程；⑵法一：要證，只需證明即可.

法二：根據(jù)“以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切”這一性質(zhì)分兩種情況討論即可得證.

[答案]⑴設(shè)，則由題，由得，故。

又根據(jù)可得，即，代入可得，解得(舍負(fù))。故的方程為；

⑵法一：設(shè)，代入得，故，

從而

，因此

法二：顯然點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)是其準(zhǔn)線上一點(diǎn)。設(shè)為的中點(diǎn)，過(guò)分別作的垂線，垂足分別為，則。因此以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切(于點(diǎn))。若與重合，則。否則點(diǎn)在外，因此。綜上知。