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11． (天津21)(本小題滿分14分)

　　　 以知橢圓的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交與兩點，且。

(1)　　　 求橢圓的離心率；　 　

(2)　　　 求直線AB的斜率；　 　

(3)　　　 設(shè)點C與點A關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，直線上有一點在的外接圓上，求的值　 　

本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、圓的方程等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算能力和推理能力，滿分14分

(I)　　　　　　　　　 解：由//且，得，從而

　 整理，得，故離心率　　 　

(II)　　　　　　　 解：由(I)得，所以橢圓的方程可寫為

　 設(shè)直線AB的方程為，即.　　 　

　由已知設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組

消去y整理，得.

依題意，

而　　 　　　　　　�、�

　　 　　　　　�、凇� 　

由題設(shè)知，點B為線段AE的中點，所以

　　　 　　　　　　　　�、�

聯(lián)立①③解得，

將代入②中，解得.

(III)解法一：由(II)可知　　 　

當(dāng)時，得，由已知得.

線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸

的交點是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.

直線的方程為，于是點H(m，n)的坐標(biāo)滿足方程組

　 ， 由解得故

當(dāng)時，同理可得.　　 　

解法二：由(II)可知

當(dāng)時，得,由已知得

由橢圓的對稱性可知B，，C三點共線，因為點H(m，n)在的外接圓上，

且，所以四邊形為等腰梯形.

　　　 由直線的方程為,知點H的坐標(biāo)為.

因為，所以，解得m=c(舍)，或.

則，所以.　　 　當(dāng)時同理可得

10．(山東22)(本小題滿分14分)

設(shè)橢圓E: (a,b>0)過M(2，) ，N(,1)兩點，O為坐標(biāo)原點，

(I)求橢圓E的方程；

(II)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。

解:(1)因為橢圓E: (a,b>0)過M(2，) ，N(,1)兩點,

所以解得所以橢圓E的方程為

(2)假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設(shè)該圓的切線方程為解方程組得,即,

則△=,即

,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當(dāng)切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.

因為,

所以,

,　

①當(dāng)時

因為所以,

所以,

所以當(dāng)且僅當(dāng)時取”=”.

②　　 當(dāng)時,.

③　　 當(dāng)AB的斜率不存在時, 兩個交點為或,所以此時,

綜上, |AB |的取值范圍為即:

[命題立意]:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的確定,直線與橢圓的位置關(guān)系直線與圓的位置關(guān)系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運(yùn)用解方程組法研究有關(guān)參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關(guān)系.

9．(山東9)設(shè)雙曲線的一條漸近線與拋物線y=x+1 只有一個公共點，則雙曲線的離心率為(　　 ).　　 　

A. 　　　　　B. 5　　　 C. 　　　　　D.

答案:D.

解析：雙曲線的一條漸近線為,由方程組,消去y,得有唯一解,所以△=,

所以,,故選D.　　 　

[命題立意]:本題考查了雙曲線的漸近線的方程和離心率的概念,以及直線與拋物線的位置關(guān)系,只有一個公共點,則解方程組有唯一解.本題較好地考查了基本概念基本方法和基本技能.

8．(遼寧 20 ) (本小題滿分 12 分)

已知橢圓C經(jīng)過點A,兩個焦點為.

　( 1)求橢圓C的方程；

　(2 )E、F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù)，證明直線 EF的斜率為定值．并求出這個定值．

(1)解：由題意，可設(shè)橢圓方程為，

∵A在橢圓上，∴，解得，(舍去)

∴橢圓C的方程為----------------4分。

(2)設(shè)AE的方程為：，代入得：

，

設(shè)E，F(xiàn)，∵點A在橢圓上，∴，

又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，在上式以代，可得

∴直線EF的斜率，

即直線EF的斜率為定值。-------------------------12分

7．(遼寧卷16)已知F是雙曲線的左焦點，定點A(1，4)，

P是雙曲線右支上的動點，則的最小值為_________。

答案：9　 解析：設(shè)雙曲線的右焦點為E，則，

，當(dāng)A、P、E共線時，

，的最小值為9。

6．(江蘇18)(本小題滿分16分)

在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓.

(1)若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；

(2)設(shè)P為平面上的點，滿足：存在過點P的無窮多對互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)。

[解析] 本小題主要考查直線與圓的方程、點到直線的距離公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、綜合分析問題的能力。滿分16分。

(1)設(shè)直線的方程為：，即

由垂徑定理，得：圓心到直線的距離，

結(jié)合點到直線距離公式，得：

化簡得：

求直線的方程為：或，即或

(2) 設(shè)點P坐標(biāo)為，直線、的方程分別為：

，即：

因為直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：：圓心到直線與直線的距離相等。

故有：，

化簡得：

關(guān)于的方程有無窮多解，有：

解之得：點P坐標(biāo)為或。

5．(廣東19)．(本小題滿分14分)已知曲線與直線交于兩點和，且．記曲線在點和點之間那一段與線段所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為．設(shè)點是上的任一點，且點與點和點均不重合．

(1)若點是線段的中點，試求線段的中點的軌跡方程；　 　　　　　

(2)若曲線與點有公共點，試求的最小值．

解：(1)聯(lián)立與得，則中點，設(shè)線段的中點坐標(biāo)為，則，即，又點在曲線上，

∴化簡可得，又點是上的任一點，且不與點和點重合，則，即，∴中點的軌跡方程為().

(2)曲線，

即圓：，其圓心坐標(biāo)為，半徑

由圖可知，當(dāng)時，曲線與點有公共點；

當(dāng)時，要使曲線與點有公共點，只需圓心到直線的距離，得，則的最小值為.

4．(福建19)(本小題滿分13分)

已知A,B 分別為曲線C： +=1(y0,a>0)與x軸

的左、右兩個交點，直線過點B,且與軸垂直，S為上

異于點B的一點，連結(jié)AS交曲線C于點T.

(1)若曲線C為半圓，點T為圓弧的三等分點，試求出點S的坐標(biāo)；

(II)如圖，點M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點，試問：是否存在,使得O,M,S三點共線？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由�！� 　　　　　　　　　　　　　　　　

解法一：

(Ⅰ)當(dāng)曲線C為半圓時，如圖，由點T為圓弧的三等分點得∠BOT=60°或120°.

(1)當(dāng)∠BOT=60°時, ∠SAE=30°.

又AB=2,故在△SAE中,有

　(2)當(dāng)∠BOT=120°時,同理可求得點S的坐標(biāo)為,綜上,

(Ⅱ)假設(shè)存在,使得O,M,S三點共線.

由于點M在以SB為直線的圓上,故.

顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設(shè)直線AS的方程為.

由

設(shè)點

故,從而.

亦即

由得

由,可得即

經(jīng)檢驗,當(dāng)時,O,M,S三點共線.　　 故存在,使得O,M,S三點共線.

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)假設(shè)存在a,使得O,M,S三點共線.

由于點M在以SO為直徑的圓上,故.

顯然,直線AS的斜率k存在且K>0,可設(shè)直線AS的方程為

由

設(shè)點,則有

故

由所直線SM的方程為

O,S,M三點共線當(dāng)且僅當(dāng)O在直線SM上,即.

故存在,使得O,M,S三點共線.

3．(福建13)過拋物線的焦點F作傾斜角為的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的長為8，則________________　　 　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：2

解析：由題意可知過焦點的直線方程為，聯(lián)立有

，又。

2．(安徽20)(本小題滿分13分)

點在橢圓上，直線與直線垂直，O為坐標(biāo)原點，直線OP的傾斜角為，直線的傾斜角為.

(I)證明: 點是橢圓與直線的唯一交點；

(II)證明:構(gòu)成等比數(shù)列.

解：本小題主要考查直線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和參數(shù)方程，直線和曲線的幾何性質(zhì)，等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識。考查綜合運(yùn)用知識分析問題、解決問題的能力。本小題滿分13分。

解：(I)(方法一)由得代入橢圓,

得.

將代入上式,得從而

因此,方程組有唯一解,即直線與橢圓有唯一交點P.

(方法二)顯然P是橢圓與的交點，若Q是橢圓與的交點，代入的方程，得

即故P與Q重合。

(方法三)在第一象限內(nèi)，由可得

橢圓在點P處的切線斜率

切線方程為即。

因此，就是橢圓在點P處的切線。

根據(jù)橢圓切線的性質(zhì)，P是橢圓與直線的唯一交點。

(II)的斜率為的斜率為

由此得構(gòu)成等比數(shù)列。