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5.　 ⑴復數(shù)是實數(shù)及純虛數(shù)的充要條件：

①.

②若，是純虛數(shù).

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點在哪里，都認為是相等的，而相等的向量表示同一復數(shù). 特例：零向量的方向是任意的，其模為零.

注：.

4. ⑴①復數(shù)的乘方：

②對任何，及有

③　

注：①以上結(jié)論不能拓展到分數(shù)指數(shù)冪的形式，否則會得到荒謬的結(jié)果，如若由就會得到的錯誤結(jié)論.

②在實數(shù)集成立的. 當為虛數(shù)時，，所以復數(shù)集內(nèi)解方程不能采用兩邊平方法.

⑵常用的結(jié)論：

若是1的立方虛數(shù)根，即，則　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .

3. 共軛復數(shù)的性質(zhì)：

，(a + bi)　　　　　　　

()　　　　　　　　　　　　　　　

注：兩個共軛復數(shù)之差是純虛數(shù). (×)[之差可能為零，此時兩個復數(shù)是相等的]

2. ⑴復平面內(nèi)的兩點間距離公式：.

其中是復平面內(nèi)的兩點所對應(yīng)的復數(shù)，間的距離.

由上可得：復平面內(nèi)以為圓心，為半徑的圓的復數(shù)方程：.

⑵曲線方程的復數(shù)形式：

①為圓心，r為半徑的圓的方程.

②表示線段的垂直平分線的方程.

③為焦點，長半軸長為a的橢圓的方程(若，此方程表示線段).

④表示以為焦點，實半軸長為a的雙曲線方程(若，此方程表示兩條射線).

⑶絕對值不等式：

設(shè)是不等于零的復數(shù)，則

①.

左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.

②.

左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.

注：.

1. ⑴復數(shù)的單位為i，它的平方等于－1，即.

⑵復數(shù)及其相關(guān)概念：

①　　 復數(shù)-形如a + bi的數(shù)(其中)；

②　　 實數(shù)-當b = 0時的復數(shù)a + bi，即a；

③　　 虛數(shù)-當時的復數(shù)a + bi；

④　　 純虛數(shù)-當a = 0且時的復數(shù)a + bi，即bi.

⑤　　 復數(shù)a + bi的實部與虛部-a叫做復數(shù)的實部，b叫做虛部(注意a，b都是實數(shù))

⑥　　 復數(shù)集C-全體復數(shù)的集合，一般用字母C表示.

⑶兩個復數(shù)相等的定義：

.

⑷兩個復數(shù)，如果不全是實數(shù)，就不能比較大小.

注：①若為復數(shù)，則若，則.(×)[為復數(shù)，而不是實數(shù)]

若，則.(√)

②若，則是的必要不充分條件.(當，

時，上式成立)

10. 將in劃去

9. question - questions

8. 在They后加were

7. have -had

5. his - their