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2．(2007年上海卷，文科，21)

我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，，．

如圖，設(shè)點(diǎn)，，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，，和，是“果圓” 與，軸的交點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．

(1)若是邊長為1的等邊三角形，求該

“果圓”的方程；　　

(2)設(shè)是“果圓”的半橢圓

上任意一點(diǎn)．求證：當(dāng)取得最小值時，

在點(diǎn)或處；

　　 (3)若是“果圓”上任意一點(diǎn)，求取得最小值時點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

[解析](1)求出兩個半橢圓的方程即可得到“果圓”的方程，(2)由兩點(diǎn)間的距離公式表示出PM的長，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最小值，(3)思路同(2)，只需分兩種情況討論即可.

[答案](1) ，

，

于是，

所求“果圓”方程為，．　

(2)設(shè)，則

　　　　　，

　　，的最小值只能在或處取到．

　　即當(dāng)取得最小值時，在點(diǎn)或處．　　　　　　　　　　

　　 (3)，且和同時位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由(2)知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可．　　　　　　　

　　　　　　　．

　　當(dāng)，即時，的最小值在時取到，

此時的橫坐標(biāo)是．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　當(dāng)，即時，由于在時是遞減的，的最小值在時取到，此時的橫坐標(biāo)是．　　　　　　　　　　　　　　　　

綜上所述，若，當(dāng)取得最小值時，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是；若，當(dāng)取得最小值時，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或．

試題詳情

1. (2006年北京卷，文科，19)

橢圓C:的兩個焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓C上，且

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)若直線l過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M，交橢圓C于兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，求直線l的方程.

[解析](Ⅰ)由橢圓的定義及勾股定理求出a,b,c的值即可，(Ⅱ)可以設(shè)出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)及直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系即可求出直線方程，也可以利用“點(diǎn)差法”求出直線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式求出直線方程.

[答案]解法一：

(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，a=3.

在Rt△PF1F2中，故橢圓的半焦距c=,

從而b2=a2－c2=4,

所以橢圓C的方程為＝1.

(Ⅱ)設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2).

已知圓的方程為(x+2)2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為(－2，1).

從而可設(shè)直線l的方程為

y=k(x+2)+1,

代入橢圓C的方程得

(4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.

因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對稱.

所以

解得，

所以直線l的方程為

即8x-9y+25=0.

(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意)

解法二：

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)已知圓的方程為(x+2)2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為(－2，1).

　設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).由題意x1x2且

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ②

由①－②得

　　　　　　　　　　 ③

因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對稱，

所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,

代入③得＝，

即直線l的斜率為，

所以直線l的方程為y－1＝(x+2)，

即8x－9y+25=0.

(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)

試題詳情

3.圓錐曲線中參數(shù)取值范圍問題通常從兩個途徑思考:一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍,二是建立不等式，通過解不等式求范圍.

試題詳情

2.當(dāng)涉及到弦的中點(diǎn)時，通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理，二是點(diǎn)差法；

試題詳情

11. 圓錐曲線綜合問題

⑴直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和判定

直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切、相離.

直線方程是二元一次方程,圓錐曲線方程是二元二次方程,由它們組成的方程組,經(jīng)過消元得到一個一元二次方程,直線和圓錐曲線相交、相切、相離的充分必要條件分別是、、.

⑵直線與圓錐曲線相交所得的弦長

直線具有斜率,直線與圓錐曲線的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,則它的弦長

上面的公式實(shí)質(zhì)上是由兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出來的,只是用了交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求的技巧而已(因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic4/img3/down2010/19/252785/1010jiajiao.files/image134.gif">，運(yùn)用韋達(dá)定理來進(jìn)行計(jì)算.

當(dāng)直線斜率不存在是,則.