(17)(本小題滿分12分)
為了測(cè)量?jī)缮巾擬，N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A，B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A，B，M，N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如示意圖)，飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：①指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)出)；②用文字和公式寫出計(jì)算M，N間的距離的步驟。
(17) 解：
方案一：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：A
點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角
；B點(diǎn)到M，
N的俯角
；A，B的距離 d (如圖)
所示) . ……….3分
②第一步：計(jì)算AM . 由正弦定理
；
第二步：計(jì)算AN . 由正弦定理
��；
第三步：計(jì)算MN. 由余弦定理
.
方案二：①需要測(cè)量的數(shù)據(jù)有：
A點(diǎn)到M，N點(diǎn)的俯角
，
；B點(diǎn)到M，N點(diǎn)的府角
，
；A，B的距離 d (如圖所示).
②第一步：計(jì)算BM . 由正弦定理
；
第二步：計(jì)算BN . 由正弦定理
；
第三步：計(jì)算MN . 由余弦定理
(18)(本小題滿分12分)
某工廠有工人1000名， 其中250名工人參加過短期培訓(xùn)(稱為A類工人)，另外750名工人參加過長(zhǎng)期培訓(xùn)(稱為B類工人)，現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類、B類分二層)從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(此處生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù))。
(I)求甲、乙兩工人都被抽到的概率，其中甲為A類工人，乙為B類工人；
(II)從A類工人中的抽查結(jié)果和從B類工人中的抽插結(jié)果分別如下表1和表2.
表1：
|
生產(chǎn)能力分組 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
人數(shù) |
4 |
8 |
 |
5 |
3 |
表2：
|
生產(chǎn)能力分組 |
|
|
|
|
|
人數(shù) |
6 |
y |
36 |
18 |
(i)先確定x，y，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖。就生產(chǎn)能力而言，A類工人中個(gè)體間的差異程度與B類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更小？(不用計(jì)算，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論)
(ii)分別估計(jì)A類工人和B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人的生產(chǎn)能力的平均數(shù)，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
(18) 解：
(Ⅰ)甲、乙被抽到的概率均為
，且事件“甲工人被抽到”與事件“乙工人被抽到”相互獨(dú)立，故甲、乙兩工人都被抽到的概率為
.
(Ⅱ)(i)由題意知A類工人中應(yīng)抽查25名，B類工人中應(yīng)抽查75名.
故 
，得
，
，得
.
頻率分布直方圖如下
從直方圖可以判斷：B類工人中個(gè)體間的關(guān)異程度更小 .
(ii) 
，
，
A類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全工廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的會(huì)計(jì)值分別為123，133.8和131.1 .
(19)(本小題滿分12分)
如圖，四棱錐S-ABCD 的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是地面邊長(zhǎng)的
倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)�！ �
(Ⅰ)求證：AC⊥SD；
(Ⅱ)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，
使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；
若不存在，試說明理由。
(19)解法一：
(Ⅰ)連BD，設(shè)AC交BD于O，由題意
。在正方形ABCD中，
，所以
,得
.
(Ⅱ)設(shè)正方形邊長(zhǎng)
，則
。
又
，所以
,
連
，由(Ⅰ)知,所以
,
且
,所以
是二面角
的平面角。
由
,知
,所以
,
即二面角的大小為
。
(Ⅲ)在棱SC上存在一點(diǎn)E，使
由(Ⅱ)可得
，故可在
上取一點(diǎn)
,使
,過作
的平行線與
的交點(diǎn)即為
。連BN。在
中知
，又由于
,故平面
，得,由于
,故
.
解法二：
(Ⅰ)；連
,設(shè)
交于于
，由題意知
.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，
分別為軸、
軸、
軸正方向，建立坐標(biāo)系
如圖。
設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則高
。
于是 
故 
從而
(Ⅱ)由題設(shè)知，平面
的一個(gè)法向量
，平面
的一個(gè)法向量
，設(shè)所求二面角為
，則
,所求二面角的大小為
(Ⅲ)在棱上存在一點(diǎn)使.
由(Ⅱ)知
是平面的一個(gè)法向量，
且 
設(shè) 
則 
而 
即當(dāng)
時(shí)，
而
不在平面內(nèi)，故
(20)(本小題滿分12分)
已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在s軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程；
(Ⅱ)若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，
=λ，求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線�！ �
(20)解:
(Ⅰ)設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為
，由已知得
，
所以橢圓
的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(Ⅱ)設(shè)
，其中
。由已知
及點(diǎn)
在橢圓上可得
。
整理得
，其中。
(i)
時(shí)。化簡(jiǎn)得
所以點(diǎn)
的軌跡方程為
，軌跡是兩條平行于軸的線段。
(ii)
時(shí)，方程變形為
，其中
當(dāng)
時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足
的部分。
當(dāng)
時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓滿足的部分；
當(dāng)
時(shí)，點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓；
(21)(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
(I)
如
，求
的單調(diào)區(qū)間；
(II)
若在
單調(diào)增加，在
單調(diào)減少，證明
＜6.
(21)解：
(Ⅰ)當(dāng)時(shí)，
，故
當(dāng)
當(dāng)
從而
單調(diào)減少.
(Ⅱ)
由條件得：
從而
因?yàn)?sub>
所以
將右邊展開，與左邊比較系數(shù)得，
故
又
由此可得
于是
請(qǐng)考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑。
(22)本小題滿分10分)選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知
的兩條角平分線
和
相交于H，
，F(xiàn)在上，
且
。
(I) 證明：B,D,H,E四點(diǎn)共圓：
(II)
證明：平分
�！ �
(22)解：
(Ⅰ)在△ABC中，因?yàn)椤螧=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°.
因?yàn)锳D，CE是角平分線，
所以∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC=120°.
因?yàn)椤螮BD+∠EHD=180°，
所以B,D,H,E四點(diǎn)共圓.
(Ⅱ)連結(jié)BH,則BH為∠ABC的平分線，得∠HBD=30°
由(Ⅰ)知B,D,H,E四點(diǎn)共圓，
所以∠CED=∠HBD=30°.
又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，
可得∠CEF=30°.
所以CE平分∠DEF.
(23)(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。
已知曲線C
：
(t為參數(shù))， C
：
(為參數(shù))。
(1)化C，C的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
(2)若C上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為
，Q為C上的動(dòng)點(diǎn)，求
中點(diǎn)到直線
(t為參數(shù))距離的最小值�！ �
(23)解：
(Ⅰ)
為圓心是(
，半徑是1的圓.
為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓.
(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，
為直線
從而當(dāng)
時(shí)，
(24)(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講
如圖，O為數(shù)軸的原點(diǎn)，A,B,M為數(shù)軸上三點(diǎn)，C為線段OM上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)x表示C與原點(diǎn)的距離，y 表示C到A距離4倍與C道B距離的6倍的和.
(1)將y表示成x的函數(shù)；
(2)要使y的值不超過70，x 應(yīng)該在什么范圍內(nèi)取值？
(24)解：
(Ⅰ)
(Ⅱ)依題意，x滿足
{
解不等式組，其解集為[9，23]
所以 
(13)設(shè)已知拋物線C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F(1，0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)。若AB的中點(diǎn)為(2，2)，則直線
的方程為_____________.
解析：拋物線的方程為
，
答案：y=x
(14)已知函數(shù)y=sin(
x+
)(>0, -
<)的圖像如圖所示，則 =________________
解析：由圖可知，
答案：
(15)7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動(dòng)。若每天安排3人，則不同的安排方案共有________________種(用數(shù)字作答)。
解析：
，答案：140
(16)等差數(shù)列{
}前n項(xiàng)和為
。已知
+
-
=0，
=38,則m=_______
解析：由+-=0得到
。
答案10
(17)(本小題滿分12分) 
如圖，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，已知
，
，于A處測(cè)得水深
，于B處測(cè)得水深
，于C處測(cè)得水深
，求∠DEF的余弦值�！ �
(17) 解：
作
交BE于N，交CF于M．
，
，
．�。�6分
在
中，由余弦定理，
. ．．．．．．12分
(18)(本小題滿分12分)
如圖，在三棱錐
中，⊿
是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90 º
(Ⅰ)證明：AB⊥PC
(Ⅱ)若
，且平面
⊥平面
，
求三棱錐體積。
(18)解：
(Ⅰ)因?yàn)?sub>
是等邊三角形，
,
所以
,可得
。
如圖，取
中點(diǎn)
，連結(jié)
,
,
則
,
,
所以
平面
,
所以
�！ �
．．．．．．6分
(Ⅱ)作
，垂足為
，連結(jié)
．
因?yàn)?sub>，
所以
，
．
由已知，平面
平面，故
． �。�8分
因?yàn)?sub>
，所以
都是等腰直角三角形。
由已知，得
， 
的面積
．
因?yàn)?sub>
平面
，
所以三角錐的體積
．．．．．．．12分
(19)(本小題滿分12分)
某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓(xùn)(稱為A類工人)，另外750名工人參加過長(zhǎng)期培訓(xùn)(稱為B類工人).現(xiàn)用分層抽樣方法(按A類，B類分二層)從該工廠的工人中共抽查100名工人，調(diào)查他們的生產(chǎn)能力(生產(chǎn)能力指一天加工的零件數(shù)).
(Ⅰ)A類工人中和B類工人各抽查多少工人？
(Ⅱ)從A類工人中抽查結(jié)果和從B類工人中的抽查結(jié)果分別如下表1和表2
表1：
|
生產(chǎn)能力分組 |
 |
 |
 |
 |
 |
|
人數(shù) |
4 |
8 |
 |
5 |
3 |
表2：
|
生產(chǎn)能力分組 |
|
|
|
|
|
人數(shù) |
6 |
y |
36 |
18 |
(1) 先確定
，再在答題紙上完成下列頻率分布直方圖。就生產(chǎn)能力而言，A類工人中個(gè)體間的差異程度與B類工人中個(gè)體間的差異程度哪個(gè)更�。�(不用計(jì)算，可通過觀察直方圖直接回答結(jié)論)
(ii)分別估計(jì)
類工人和
類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，并估計(jì)該工廠工人和生產(chǎn)能力的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)。
(19)解：
(Ⅰ)類工人中和類工人中分別抽查25名和75名。
．．．．．．4分
(Ⅱ)(ⅰ)由
，得
，
，得
�！�
頻率分布直方圖如下
．．．．．．8分
從直方圖可以判斷：類工人中個(gè)體間的差異程度更小。
．．．．．．9分
(ii) 
，
，
A類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)，B類工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)以及全廠工人生產(chǎn)能力的平均數(shù)的估計(jì)值分別為123，133.8和131.1.
(20)(本小題滿分12分)
已知橢圓
的中心為直角坐標(biāo)系
的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)項(xiàng)點(diǎn)到兩個(gè)
焦點(diǎn)的距離分別是7和1
(I)
求橢圓的方程‘
(II)
若
為橢圓的動(dòng)點(diǎn)，
為過且垂直于軸的直線上的點(diǎn)，
(e為橢圓C的離心率)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線。
(20)解：
(Ⅰ)設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及分別為a,c,由已知得
{
解得a=4,c=3,
所以橢圓C的方程為
(Ⅱ)設(shè)M(x,y),P(x,
),其中
由已知得
而
，故
①
由點(diǎn)P在橢圓C上得
代入①式并化簡(jiǎn)得
所以點(diǎn)M的軌跡方程為
軌跡是兩條平行于x軸的線段.
(21)(本小題滿分12分)
已知函數(shù)
.
(1)
設(shè)
，求函數(shù)
的極值；
(2)
若
，且當(dāng)
時(shí)，
12a恒成立，試確定
的取值范圍.
請(qǐng)考生在第(22)、(23)、(24)三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。作答時(shí)用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑�！�
(21)解：
(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)函數(shù)
求導(dǎo)數(shù)，得
令 
列表討論
的變化情況：
|
|
 |
 |
(-1，3) |
3 |
 |
 |
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
 |
極大值6 |
|
極小值-26 |
|
所以，的極大值是
，極小值是
(Ⅱ)
的圖像是一條開口向上的拋物線，關(guān)于x=a對(duì)稱.
若
上是增函數(shù)，從而
上的最小值是
最大值是
由
于是有
由
所以
若a>1,則
不恒成立.
所以使
恒成立的a的取值范圍是
(22)(本小題滿分10分)選修4-1；幾何證明選講
如圖，已知
ABC中的兩條角平分線
和
相交于
，
B=60
，
在
上，且
�！�
(1)證明：
四點(diǎn)共圓；
(2)證明：CE平分DEF。
(22)解：
(Ⅰ)在△ABC中，因?yàn)椤螧=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°.
因?yàn)锳D,CE是角平分線，
所以∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC=120°.
因?yàn)椤螮BD+∠EHD=180°，
所以B,D,H,E四點(diǎn)共圓。
(Ⅱ)連結(jié)BH，則BH為
的平分線，得
30°
由(Ⅰ)知B，D，H，E四點(diǎn)共圓，
所以
30°
又
60°，由已知可得
，
可得
30°
所以CE平分
(23)(本小題滿分10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。
已知曲線C
：
(t為參數(shù))， C
：
(
為參數(shù))。
(1)化C，C的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
(2)若C上的點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為
，Q為C上的動(dòng)點(diǎn)，求
中點(diǎn)到直線
(t為參數(shù))距離的最小值�！�
(23)解：
(Ⅰ)
為圓心是
，半徑是1的圓。
為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)是8，短半軸長(zhǎng)是3的橢圓�！�
(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，
，故
為直線
，
M到的距離
從而當(dāng)
時(shí)，
取得最小值
(24)(本小題滿分10分)選修4-5：不等式選講
如圖，
為數(shù)軸的原點(diǎn)，
為數(shù)軸上三點(diǎn)，為線段
上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)表示與原點(diǎn)的距離，
表示到距離4倍與到距離的6倍的和.
(1)將表示為的函數(shù)；
(2)要使的值不超過70， 應(yīng)該在什么范圍內(nèi)取值？
(24)解：
(Ⅰ)
(Ⅱ)依題意，滿足
解不等式組，其解集為
所以 
22、解析：(I)因
，
，因
在區(qū)間
上不單調(diào)，所以
在
上有實(shí)數(shù)解，且無重根，由得
，令
有
，記
則
在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，所以有
，于是
，得
，而當(dāng)
時(shí)有在上有兩個(gè)相等的實(shí)根
，故舍去，所以
；
(II)當(dāng)
時(shí)有
；
當(dāng)
時(shí)有
，因?yàn)楫?dāng)
時(shí)不合題意，因此
，
下面討論的情形，記A
，B=
(ⅰ)當(dāng)
時(shí)，
在
上單調(diào)遞增，所以要使
成立，只能
且
，因此有
，(ⅱ)當(dāng)
時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以要使成立，只能
且，因此
，綜合(ⅰ)(ⅱ)
；
當(dāng)時(shí)A=B，則
，即
使得成立，因?yàn)?sub>在上單調(diào)遞增，所以
的值是唯一的；
同理，
，即存在唯一的非零實(shí)數(shù)
，要使成立，所以滿足題意．
21、解析：(I)由題意得
所求的橢圓方程為
，
(II)不妨設(shè)
則拋物線
在點(diǎn)P處的切線斜率為
，直線MN的方程為
，將上式代入橢圓
的方程中，得
，即
，因?yàn)橹本�MN與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以有
，
設(shè)線段MN的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是
，則
，
設(shè)線段PA的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是
，則
，由題意得
，即有
，其中的
或
；
當(dāng)時(shí)有
，因此不等式不成立；因此
，當(dāng)
時(shí)代入方程得
，將
代入不等式成立，因此
的最小值為1．
20、證明：(I)如圖，連結(jié)OP，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為
軸，
軸，
軸，建立空間直角坐標(biāo)系O
，
則
，由題意得，
因
，因此平面BOE的法向量為
，
得
，又直線
不在平面
內(nèi)，因此有
平面
(II)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為
，則
，因?yàn)?sub>
平面BOE，所以有
，因此有
，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為
，在平面直角坐標(biāo)系
中，
的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組
，經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組，所以在
內(nèi)存在一點(diǎn)
，使平面，由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)到
，
的距離為
．
19、解析：(I)記“這3個(gè)數(shù)恰有一個(gè)是偶數(shù)”為事件A，則
；
(II)隨機(jī)變量
的取值為
的分布列為
|
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0 |
1 |
2 |
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P |
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所以的數(shù)學(xué)期望為
18、解析：(I)因?yàn)?sub>
，
，又由
，得
，
(II)對(duì)于
，又
，
或
，由余弦定理得
，
17、答案：
[解析]此題的破解可采用二個(gè)極端位置法，即對(duì)于F位于DC的中點(diǎn)時(shí)，
，隨著F點(diǎn)到C點(diǎn)時(shí)，因
平面
，即有
，對(duì)于
，又
，因此有
，則有
，因此
的取值范圍是
16、答案：336
[解析]對(duì)于7個(gè)臺(tái)階上每一個(gè)只站一人，則有
種；若有一個(gè)臺(tái)階有2人，另一個(gè)是1人，則共有
種，因此共有不同的站法種數(shù)是336種．
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