7.數(shù)列求和的常用方法：
(1)公式法：①等差數(shù)列求和公式；②等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.；③常用公式：
，
，
.如(1)等比數(shù)列
的前
項(xiàng)和Sn＝2n－1，則
＝_____(答：
)；(2)計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的。二進(jìn)制即“逢2進(jìn)1”，如
表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是
，那么將二進(jìn)制
轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是_______(答：
)
(2)分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和. 如求：
(答：
)
(3)倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則�？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和(這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法). 如①求證：
；②已知
，則
＝______(答：
)
(4)錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法(這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法). 如(1)設(shè)為等比數(shù)列，
，已知
，
，①求數(shù)列的首項(xiàng)和公比；②求數(shù)列
的通項(xiàng)公式.(答：①
，
；②
)；(2)設(shè)函數(shù)
，數(shù)列
滿足：
，①求證：數(shù)列
是等比數(shù)列；②令
，求函數(shù)
在點(diǎn)
處的導(dǎo)數(shù)
，并比較與
的大小。(答：①略；②
，當(dāng)
時(shí)，＝；當(dāng)
時(shí)，<；當(dāng)
時(shí)，>)
(5)裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有：
①
； ②
；
③
，
；
④
；⑤
；
⑥
.
如(1)求和：
(答：
)；(2)在數(shù)列
中，
，且Sn＝9，則n＝_____(答：99)；
(6)通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。如①求數(shù)列1×4，2×5，3×6，…，
，…前項(xiàng)和
= (答：
)；②求和：
(答：
)
6.數(shù)列的通項(xiàng)的求法：
⑴公式法：①等差數(shù)列通項(xiàng)公式；②等比數(shù)列通項(xiàng)公式。如已知數(shù)列
試寫出其一個(gè)通項(xiàng)公式：__________(答：
)
⑵已知
(即
)求
，用作差法：
。如①已知的前項(xiàng)和滿足
，求(答：
)；②數(shù)列滿足
，求(答：
)
⑶已知
求，用作商法：
。如數(shù)列中，
對(duì)所有的
都有
，則
______(答：
)
⑷若
求用累加法：
。如已知數(shù)列滿足
，
，則=________(答：
)
⑸已知
求，用累乘法：
。如已知數(shù)列中，
，前項(xiàng)和
，若
，求(答：
)
⑹已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法(構(gòu)造等差、等比數(shù)列)。特別地，(1)形如
、
(
為常數(shù))的遞推數(shù)列都可以用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為公比為
的等比數(shù)列后，再求。如①已知
，求(答：
)；②已知
，求(答：
)；(2)形如
的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項(xiàng)。如①已知
，求(答：
)；②已知數(shù)列滿足
=1，
，求(答：
)
注意：(1)用
求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到此等式成立的條件了嗎？(
，當(dāng)時(shí)，
)；(2)一般地當(dāng)已知條件中含有與的混合關(guān)系時(shí)，常需運(yùn)用關(guān)系式，先將已知條件轉(zhuǎn)化為只含或的關(guān)系式，然后再求解。如數(shù)列滿足
，求(答：
)
5.等比數(shù)列的性質(zhì)：
(1)當(dāng)
時(shí)，則有
，特別地，當(dāng)
時(shí)，則有
.如(1)在等比數(shù)列中，
，公比q是整數(shù)，則
=___(答：512)；(2)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若
，則
(答：10)。
(2) 若是等比數(shù)列，則
、
、
成等比數(shù)列；若
成等比數(shù)列，則
、
成等比數(shù)列； 若是等比數(shù)列，且公比
，則數(shù)列
，…也是等比數(shù)列。當(dāng)
，且為偶數(shù)時(shí)，數(shù)列 ，…是常數(shù)數(shù)列0，它不是等比數(shù)列. 如(1)已知
且
，設(shè)數(shù)列
滿足
，且
，則
. (答：
)；(2)在等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若
，則
的值為______(答：40)
(3)若
，則為遞增數(shù)列；若
, 則為遞減數(shù)列；若
，則為遞減數(shù)列；若
, 則為遞增數(shù)列；若
，則為擺動(dòng)數(shù)列；若
，則為常數(shù)列.
(4) 當(dāng)
時(shí)，
，這里
，但
，這是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的一個(gè)特征，據(jù)此很容易根據(jù)，判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列。如若是等比數(shù)列，且
，則
＝
(答：－1)
(5) 
.如設(shè)等比數(shù)列的公比為
，前項(xiàng)和為，若
成等差數(shù)列，則的值為_____(答：－2)
(6) 在等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)
時(shí)，
；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)
時(shí)，
.
(7)如果數(shù)列
既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列是非零常數(shù)數(shù)列，故常數(shù)數(shù)列僅是此數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件。如設(shè)數(shù)列
的前項(xiàng)和為
(
)， 關(guān)于數(shù)列有下列三個(gè)命題：①若
，則既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列；②若
，則是等差數(shù)列；③若
，則是等比數(shù)列。這些命題中，真命題的序號(hào)是
(答：②③)
4.等比數(shù)列的有關(guān)概念：
(1)等比數(shù)列的判斷方法：定義法
，其中
或
。如(1)一個(gè)等比數(shù)列{}共有
項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)之積為100，偶數(shù)項(xiàng)之積為120，則
為____(答：
)；(2)數(shù)列中，=4
+1 ()且=1，若
，求證：數(shù)列{
}是等比數(shù)列。
(2)等比數(shù)列的通項(xiàng)：
或
。如設(shè)等比數(shù)列中，
，
，前項(xiàng)和＝126，求和公比. (答：
，
或2)
(3)等比數(shù)列的前和：當(dāng)時(shí)，
；當(dāng)時(shí)，
。如(1)等比數(shù)列中，＝2，S99=77，求
(答：44)；(2)
的值為__________(答：2046)；
特別提醒：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式有兩種形式，為此在求等比數(shù)列前項(xiàng)和時(shí)，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當(dāng)不能判斷公比是否為1時(shí)，要對(duì)分和兩種情形討論求解。
(4)等比中項(xiàng)：若
成等比數(shù)列，那么A叫做
與
的等比中項(xiàng)。提醒：不是任何兩數(shù)都有等比中項(xiàng)，只有同號(hào)兩數(shù)才存在等比中項(xiàng)，且有兩個(gè)
。如已知兩個(gè)正數(shù)
的等差中項(xiàng)為A，等比中項(xiàng)為B，則A與B的大小關(guān)系為______(答：A＞B)
提醒：(1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2；(2)為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等比，可設(shè)為…，
…(公比為)；但偶數(shù)個(gè)數(shù)成等比時(shí)，不能設(shè)為…
，…，因公比不一定為正數(shù)，只有公比為正時(shí)才可如此設(shè)，且公比為
。如有四個(gè)數(shù)，其中前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第四個(gè)數(shù)的和是16，第二個(gè)數(shù)與第三個(gè)數(shù)的和為12，求此四個(gè)數(shù)。(答：15，,9，3,1或0,4，8,16)
3.等差數(shù)列的性質(zhì)：
(1)當(dāng)公差
時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式
是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差
；前和
是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.
(2)若公差
，則為遞增等差數(shù)列，若公差
，則為遞減等差數(shù)列，若公差
，則為常數(shù)列。
(3)當(dāng)時(shí),則有
，特別地，當(dāng)時(shí)，則有
.如(1)等差數(shù)列中，
，則＝____(答：27)；(2)在等差數(shù)列
中，
，且
，
是其前項(xiàng)和，則A、
都小于0，
都大于0 B、
都小于0，
都大于0 C、
都小于0，
都大于0 D、
都小于0，
都大于0 (答：B)
(4) 若、
是等差數(shù)列，則
、
(、
是非零常數(shù))、、 ，…也成等差數(shù)列，而
成等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，且
，則
是等差數(shù)列. 如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為25，前2n項(xiàng)和為100，則它的前3n和為
。(答：225)
(5)在等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)時(shí)，
；項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，
，
(這里
即)；
。如(1)在等差數(shù)列中，S11＝22，則
＝______(答：2)；(2)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)和為80，偶數(shù)項(xiàng)和為75，求此數(shù)列的中間項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)(答：5；31).
(6)若等差數(shù)列、的前和分別為
、
，且
，則
.如設(shè){}與{
}是兩個(gè)等差數(shù)列，它們的前項(xiàng)和分別為和
，若
，那么
___________(答：
)
(7)“首正”的遞減等差數(shù)列中，前
項(xiàng)和的最大值是所有非負(fù)項(xiàng)之和；“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前項(xiàng)和的最小值是所有非正項(xiàng)之和。法一：由不等式組
確定出前多少項(xiàng)為非負(fù)(或非正)；法二：因等差數(shù)列前項(xiàng)是關(guān)于的二次函數(shù)，故可轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，但要注意數(shù)列的特殊性
。上述兩種方法是運(yùn)用了哪種數(shù)學(xué)思想？(函數(shù)思想)，由此你能求一般數(shù)列中的最大或最小項(xiàng)嗎？如(1)等差數(shù)列中，
，
，問此數(shù)列前多少項(xiàng)和最大？并求此最大值。(答：前13項(xiàng)和最大，最大值為169)；(2)若是等差數(shù)列，首項(xiàng)
，
，則使前n項(xiàng)和
成立的最大正整數(shù)n是
(答：4006)
(8)如果兩等差數(shù)列有公共項(xiàng)，那么由它們的公共項(xiàng)順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù). 注意：公共項(xiàng)僅是公共的項(xiàng)，其項(xiàng)數(shù)不一定相同，即研究
.
2.等差數(shù)列的有關(guān)概念：
(1)等差數(shù)列的判斷方法：定義法
或
。如設(shè)是等差數(shù)列，求證：以bn=
為通項(xiàng)公式的數(shù)列
為等差數(shù)列。
(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)：
或
。如(1)等差數(shù)列中，
，
，則通項(xiàng)
(答：
)；(2)首項(xiàng)為-24的等差數(shù)列，從第10項(xiàng)起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是______(答：
)
(3)等差數(shù)列的前和：
，
。如(1)數(shù)列 中，
，
，前n項(xiàng)和
，則＝＿，＝＿(答：
，
)；(2)已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和
，求數(shù)列
的前項(xiàng)和
(答：
).
(4)等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫做與的等差中項(xiàng)，且
。
提醒：(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到5個(gè)元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知3求2。(2)為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)元的技巧，如奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，
…(公差為)；偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，
,…(公差為2)
1、數(shù)列的概念：數(shù)列是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集N*(或它的有限子集{1,2，3，…，n})的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項(xiàng)公式也就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。如(1)已知
，則在數(shù)列的最大項(xiàng)為__(答：
)；(2)數(shù)列的通項(xiàng)為
，其中
均為正數(shù)，則與
的大小關(guān)系為___(答：
)；(3)已知數(shù)列中，
，且是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)
的取值范圍(答：
)；(4)一給定函數(shù)
的圖象在下列圖中，并且對(duì)任意
，由關(guān)系式
得到的數(shù)列滿足
，則該函數(shù)的圖象是 ()(答：A)
A B C D
1、直抒胸臆：直接運(yùn)用抒情與議論的表達(dá)方式來抒發(fā)情感
2．運(yùn)用具體描寫手段：語言描寫、動(dòng)作描寫、神態(tài)描寫、外貌描寫、心理描寫、細(xì)節(jié)描寫
⒊運(yùn)用修辭手法來寫人：比喻對(duì)比夸張比擬借代雙關(guān)反問設(shè)問、反問、反語；
⒋運(yùn)用表現(xiàn)手法來寫：襯托對(duì)比渲染烘托象征、鋪陳，白描。
第三種：抒情方式
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