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2. 平面內(nèi)有n個圓，任意兩個圓都相交于兩點，任何三個圓都不相交于同一點，求證這n個圓將平面分成f(n)=n²－n+2個部分.

證明：(1)當n=1時，一個圓將平面分成兩個部分，且f(1)=1－1+2=2.

因此，n=1時命題成立.

(2)假設(shè)n=k時命題成立，即k個圓把平面分成f(k)=k²－k+2個部分.

則n=k+1時，在k+1個圓中任取一個圓C，剩下的k個圓將平面分成f(k)個部分，而圓C與k個圓有2k個交點，這2k個交點將圓C分成2k段弧，每段弧將它所在的平面部分一分為二，故共增加了2k個平面部分，因此：f(k+1)=f(k)+2k=k²－k+2+2k=(k+1)²－(k+1)+2.

∴n=k+1時命題也成立.

由(1)、(2)知對一切n∈N^*，命題都成立.

1．n為奇數(shù)時xⁿ+yⁿ能被x+y整除.

證明：(1)當n=1時，xⁿ+yⁿ=x+y，它能被x+y整除，所以n=1時命題成立.

(2) 假設(shè)當n=k(k為正奇數(shù))時，命題成立，即x^k+y^k能被x+y整除.

當n=k+2時，

x^k+2+y^k+2=x²·x^k+y²·y^k=x²(x^k+y^k)+y²·y^k－x²·y^k

=x²(x^k+y^k)+y^k(y²－x²)=x²(x^k+y^k)+y^k·(y+x)(y－x).

由歸納假設(shè)知.x^k+y^k能被x+y整除.(y+x)(y－x)也能被x+y整除.

∴x²(x^k+y^k)+y^k(y+x)(y－x)能被x+y整除.

即x^k+2+y^k+2也能被x+y整除.故對n=k+2時也成立.即第k+1個奇數(shù)也成立.

由(1)、(2)知命題對一切正奇數(shù)都成立

例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：x²ⁿ－y²ⁿ ()能被x+y整除

證明: (1)當n=1時，x²ⁿ－y²ⁿ=x²－y²=(x－y)(x+y)

所以(x－y)(x+y)能被x+y整除.故n=1時命題成立.

(2) 假設(shè)n=k時x^2k－y^2k能被x+y整除，

(利用添項去項將x^2k+2－y^2k+2配成x^2k－y^2k的形式，再用歸納假設(shè))

因為x^2k+2－y^2k+2=x²·x^2k－y²·y^2k

=x²(x^2k－y^2k)+x²·y^2k－y²·y^2k

=x²(x^2k－y^2k)+y^2k(x²－y²)

由假設(shè)x^2k－y^2k能被x+y整除，而x²－y²也能被x+y整除.

故x^2k+2－y^2k+2能被x+y整除，即n=k+1時也成立.

由(1)、(2)知命題對一切正整數(shù)都成立.

例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意自然數(shù)n，數(shù)11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹是133的倍數(shù).

證明：(1) 當n=0時，11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹=11²+12¹=121+12=133.故n=0時命題成立.

(2)假設(shè)當n=k時命題成立，即11^k+2+12^2k+1能被133整除.

∴n=k+1時，

11^(k+1)+2+12^2(k+1)+1=11·11^k+2+12²·12^2k+1

=11·(11^k+2+12^2k+1)+12²·12^2k+1－11×12^2k+1

=11·(11^k+2+12^2k+1)+12^2k+1(144－11)

=11·(11^k+2+12^2k+1)+12^2k+1·133

由歸納假設(shè)知11^k+2+12^2k+1及133都能被133整除.

∴11^(k+1)+2+12^2(k+1)+1能被133整除，即n=k+1時命題也成立.

根據(jù)(1)(2)可知.命題對一切自然數(shù)都成立.

說明：第一步的初始值，可能會：當n=1時，11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹=11³+12³=(11+12)(11²－11×12+12²)=23×(121+144－132)=23×133.　∴23×133能被133整除.即n=1時命題成立．.因為自然數(shù)中包括0，所以第一步應(yīng)驗證n=0，而不是n=1.

本題第一步若證明n=1時命題成立，一者計算量較大，二者也不符合自然數(shù)集的新定義.　證n=0，既方便減少計算量又科學(xué)更嚴密.一般情況，有時為了簡化計算常將證明n=1改證n=0或n=－1，這種技巧稱之“提前起點”，提前起點的前提是n為整數(shù)，否則遞推無法進行.另外，利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題，由歸納假設(shè)P(k)能被p整除，證P(k+1)能被p整除，也可運用結(jié)論：“P(k+1)－P(k)能被p整除P(k+1)能被p整除.”

例3平面內(nèi)有n(n≥2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點，證明交點的個數(shù)為f(n)= .

證明：(1)當n=2時，兩條直線的交點只有一個，又f(2)=×2×(2－1)=1，

因此，當n=2時，命題成立.

(2)假設(shè)當n=k(k≥2)時命題成立，就是說，平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點的個數(shù)f(k)等于k(k－1).現(xiàn)在來考慮平面內(nèi)有k+1條直線的情況.任取其中的一條直線，記為l.

　(如例3圖所示).由上述歸納法的假設(shè)，除l以外的其他k條直線的交點個數(shù)為f(k)=k(k－1).

另外，因為已知任何兩條直線不平行，所以直線l必與平面內(nèi)其他k條直線都相交(有k個交點);又因為已知任何三條直線不過同一點，所以上面的k個交點兩兩不相同，且與平面內(nèi)其他的k·(k－1)個交點也兩兩不相同，從而平面內(nèi)交點的個數(shù)是k(k－1)+k=k［(k－1)+2］=(k+1)［(k+1)－1］.

這就是說，當n=k+1時，k+1條直線的交點個數(shù)為

f(k+1)=(k+1)［(k+1)－1］.

根據(jù)(1)、(2)可知命題對任何大于1的正整數(shù)都成立．

6.用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：

(1)證明：當n取第一個值n₀結(jié)論正確；

(2)假設(shè)當n=k(k∈N^*，且k≥n₀)時結(jié)論正確，證明當n=k+1時結(jié)論也正確.

由(1)，(2)可知，命題對于從n₀開始的所有正整數(shù)n都正確　

遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.

5. 數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n₀，如果當n=n₀時，命題成立，再假設(shè)當n=k(k≥n₀，k∈N^*)時，命題成立.(這時命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個假設(shè)，如能推出當n=k+1時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于n₀的正整數(shù)n₀+1，n₀+2，…，命題都成立.

4.數(shù)學(xué)歸納法:對于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當n取第一個值n₀時命題成立；然后假設(shè)當n=k(kÎN*，k≥n₀)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法

3. 完全歸納法: 把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法.

完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時，采用完全歸納法.

2. 不完全歸納法: 根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫做不完全歸納法.

1. 歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法.特點：特殊→一般

25．(2010·金華模擬)A、B、C、D四種短周期元素的原子序數(shù)依次增大，A元素的氣態(tài)氫化物與A元素的最高價氧化物對應(yīng)的水化物能反應(yīng)生成鹽；B、C、D同周期，它們的最高價氧化物對應(yīng)的水化物兩兩之間都能反應(yīng)生成鹽和水，B和D可組成化合物BD�；卮鹣铝袉栴}：

(1)A元素的氣態(tài)氫化物的結(jié)構(gòu)式為：__________。D的最高價氧化物對應(yīng)水化物的化學(xué)式：____________。

(2)在工業(yè)上常用________法制備單質(zhì)C(填金屬的冶煉方法)

(3)C、D組成的化合物溶于水的離子方程式：_________________。

(4)B、C最高價氧化物對應(yīng)的水化物在溶液中反應(yīng)的離子方程式為：_____________。

[解析]分析元素周期表和各元素的性質(zhì)：A元素的氣態(tài)氫化物與A元素的最高價氧化物對應(yīng)的水化物能反應(yīng)生成鹽，可知A是N元素(NH₃+HNO₃＝NH₄NO₃)。B、C、D同周期，它們的最高價氧化物對應(yīng)的水化物要么是酸，要么是堿，且兩兩之間都反應(yīng)生成鹽和水，可知C為Al；又B和D可組成BD化合物，可推得B為Na，D為Cl，由此可順利解題。

[答案](1)　　 HClO₄

(2)電解；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(3)Al³⁺+3H₂OAl(OH)₃+3H⁺；

(4)Al(OH)₃+OH^－＝AlO₂^－+2H₂O

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