9. [解] (1)
，
，
，
．
(2)
四邊形
和四邊形
都是平行四邊形，
，
，
，
．又
，
．
點(diǎn)
是
中點(diǎn)，
．
．
．
又
，
．
8.
7.
解：(1)∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．
∴ △AMN ∽ △ABC．
∴ 
，即
．
∴ AN＝
x． ……………2分
∴ 
=
．(0＜
＜4)
……………3分
(2)如圖2，設(shè)直線BC與⊙O相切于點(diǎn)D，連結(jié)AO，OD，則AO =OD =
MN．
在Rt△ABC中，BC ＝
=5．
由(1)知 △AMN ∽ △ABC．
∴ 
，即
．
∴ 
，
∴ 
．
…………………5分
過(guò)M點(diǎn)作MQ⊥BC 于Q，則
．
在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴ △BMQ∽△BCA．
∴ 
．
∴ 
，
．
∴ x＝
．
∴ 當(dāng)x＝時(shí)，⊙O與直線BC相切．…………………………………7分
(3)隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)落在直線BC上時(shí)，連結(jié)AP，則O點(diǎn)為AP的中點(diǎn)．
∵ MN∥BC，∴ ∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．
∴ △AMO ∽ △ABP．
∴ 
．
AM＝MB＝2．
故以下分兩種情況討論：
① 當(dāng)0＜≤2時(shí)，
．
∴ 當(dāng)＝2時(shí)，
……………………………………8分
② 當(dāng)2＜＜4時(shí)，設(shè)PM，PN分別交BC于E，F．
∵ 四邊形AMPN是矩形，
∴ PN∥AM，PN＝AM＝x．
又∵ MN∥BC，
∴ 四邊形MBFN是平行四邊形．
∴ FN＝BM＝4－x．
∴ 
．
又△PEF ∽ △ACB．
∴ 
．
∴ 
．
……………………………………………… 9分
＝
．……………………10分
當(dāng)2＜＜4時(shí)，
．
∴ 當(dāng)
時(shí)，滿足2＜＜4，
． ……………………11分
綜上所述，當(dāng)時(shí)，
值最大，最大值是2． …………………………12分
6. 解：(1)
，
，
，
．
點(diǎn)
為
中點(diǎn)，
．
，
．
，
，
．
(2)
，
．
，
，
，
，
即關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：
．
(3)存在，分三種情況：
①當(dāng)
時(shí)，過(guò)點(diǎn)
作
于
，則
．
，
，
．
，
，
，
．
②當(dāng)
時(shí)，
，
．
③當(dāng)
時(shí)，則為
中垂線上的點(diǎn)，
于是點(diǎn)為
的中點(diǎn)，
．
，
，
．
綜上所述，當(dāng)為
或6或
時(shí)，
為等腰三角形．
5. 解:(1)∆ABE∽∆DAE, ∆ABE∽∆DCA
∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°
∴∠BAE=∠CDA
又∠B=∠C=45°
∴∆ABE∽∆DCA
(2)∵∆ABE∽∆DCA
∴
由依題意可知CA=BA=
∴
∴m=
自變量n的取值范圍為1<n<2.
(3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n
∵m=
∴m=n=
∵OB=OC=
BC=1
∴OE=OD=－1
∴D(1－, 0)
∴BD=OB－OD=1-(－1)=2－=CE,
DE=BC－2BD=2-2(2－)=2－2
∵BD
+CE=2
BD=2(2－)=12－8, DE=(2－2)= 12－8
∴BD+CE=DE
(4)成立
證明:如圖,將∆ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至∆ABH的位置,則CE=HB,AE=AH,
∠ABH=∠C=45°,旋轉(zhuǎn)角∠EAH=90°.
連接HD,在∆EAD和∆HAD中
∵AE=AH, ∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD, AD=AD.
∴∆EAD≌∆HAD
∴DH=DE
又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°
∴BD+HB=DH
即BD+CE=DE
4. Ⅰ.證明：∵DEFG為正方形，
∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°
∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°
∴△BDG≌△CEF(AAS)
Ⅱa.解法一：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，作△ABC的高AH，
求得
由△AGF∽△ABC得：
解之得：
(或
)
解法二：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則
在Rt△BDG中，tan∠B=
，
∴
解之得：(或)
解法三：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，
則
由勾股定理得：
解之得：
Ⅱb.解： 正確
由已知可知，四邊形GDEF為矩形
∵FE∥F’E’ ，
∴
，
同理
，
∴
又∵F’E’=F’G’，
∴FE=FG
因此，矩形GDEF為正方形
3. 證明：(1)四邊形
和四邊形
都是正方形
(2)由(1)得 
∴
AMN∽CDN
2. (1)證明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC
∴AF＝CF，∠DFA＝DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF.
∵∠DAB＝∠DAF+∠CAB＝90°，∠CAB+∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B
在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B
∴△DCF∽△ABC
∴
，即
.∴AB·AF＝CB·CD
(2)解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，
∴AC＝
＝
＝12，∴CF＝AF＝6
∴
×6＝3x+27(x＞0)
②∵BC＝9(定值)，∴△PBC的周長(zhǎng)最小，就是PB+PC最小.由(1)可知，點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)A，∴PB+PC＝PB+PA，故只要求PB+PA最小.
顯然當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)PB+PA最小.此時(shí)DP＝DE，PB+PA＝AB.
由(1)，∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，地△DAF∽△ABC.
EF∥BC，得AE＝BE＝
AB＝，EF＝
.
∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.
Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.
∴DE＝DF+FE＝8+＝
.
∴當(dāng)x＝時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，此時(shí)y＝
1. 
解：(1)皮尺、標(biāo)桿．
(2)測(cè)量示意圖如右圖所示．
(3)如圖，測(cè)得標(biāo)桿
，樹(shù)和標(biāo)桿的影長(zhǎng)分別為
，
．
，
．
．
．
1. 50；2.
10.5；3. 6；4. 4；5. 
；6. 6；7. 4.8；8. ∠ADE=∠ACB(或∠AED=∠ABC或
)9. 100；10.
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