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例1用數(shù)學(xué)歸納法證明:x2n-y2n ()能被x+y整除 證明: (1)當n=1時.x2n-y2n=x2-y2=(x-y)(x+y) 所以(x-y)(x+y)能被x+y整除.故n=1時命題成立. (2) 假設(shè)n=k時x2k-y2k能被x+y整除. (利用添項去項將x2k+2-y2k+2配成x2k-y2k的形式.再用歸納假設(shè)) 因為x2k+2-y2k+2=x2·x2k-y2·y2k =x2(x2k-y2k)+x2·y2k-y2·y2k =x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2) 由假設(shè)x2k-y2k能被x+y整除.而x2-y2也能被x+y整除. 故x2k+2-y2k+2能被x+y整除.即n=k+1時也成立. 由知命題對一切正整數(shù)都成立. 例2 用數(shù)學(xué)歸納法證明:對于任意自然數(shù)n.數(shù)11n+2+122n+1是133的倍數(shù). 證明:(1) 當n=0時.11n+2+122n+1=112+121=121+12=133.故n=0時命題成立. (2)假設(shè)當n=k時命題成立.即11k+2+122k+1能被133整除. ∴n=k+1時. 11(k+1)+2+122(k+1)+1=11·11k+2+122·122k+1 =11·(11k+2+122k+1)+122·122k+1-11×122k+1 =11·(11k+2+122k+1)+122k+1 =11·(11k+2+122k+1)+122k+1·133 由歸納假設(shè)知11k+2+122k+1及133都能被133整除. ∴11(k+1)+2+122(k+1)+1能被133整除.即n=k+1時命題也成立. 根據(jù)可知.命題對一切自然數(shù)都成立. 說明:第一步的初始值.可能會:當n=1時.11n+2+122n+1=113+123=(112-11×12+122)=23×=23×133. ∴23×133能被133整除.即n=1時命題成立．.因為自然數(shù)中包括0.所以第一步應(yīng)驗證n=0.而不是n=1. 本題第一步若證明n=1時命題成立.一者計算量較大.二者也不符合自然數(shù)集的新定義. 證n=0.既方便減少計算量又科學(xué)更嚴密.一般情況.有時為了簡化計算常將證明n=1改證n=0或n=-1.這種技巧稱之“提前起點 .提前起點的前提是n為整數(shù).否則遞推無法進行.另外.利用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題.由歸納假設(shè)P(k)能被p整除.證P(k+1)能被p整除.也可運用結(jié)論:“P(k+1)-P(k)能被p整除P(k+1)能被p整除. 例3平面內(nèi)有n(n≥2)條直線.其中任何兩條不平行.任何三條不過同一點.證明交點的個數(shù)為f(n)= . 證明:(1)當n=2時.兩條直線的交點只有一個.又f(2)=×2×(2-1)=1. 因此.當n=2時.命題成立. (2)假設(shè)當n=k(k≥2)時命題成立.就是說.平面內(nèi)滿足題設(shè)的任何k條直線的交點的個數(shù)f(k)等于k(k-1).現(xiàn)在來考慮平面內(nèi)有k+1條直線的情況.任取其中的一條直線.記為l. .由上述歸納法的假設(shè).除l以外的其他k條直線的交點個數(shù)為f(k)=k(k-1). 另外.因為已知任何兩條直線不平行.所以直線l必與平面內(nèi)其他k條直線都相交(有k個交點);又因為已知任何三條直線不過同一點.所以上面的k個交點兩兩不相同.且與平面內(nèi)其他的k·(k-1)個交點也兩兩不相同.從而平面內(nèi)交點的個數(shù)是k(k-1)+k=k［(k-1)+2］=(k+1)［(k+1)-1］. 這就是說.當n=k+1時.k+1條直線的交點個數(shù)為 f(k+1)=(k+1)［(k+1)-1］. 根據(jù)可知命題對任何大于1的正整數(shù)都成立． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

用數(shù)學(xué)歸納法證明：x2n+1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除．從假設(shè)n＝k成立到n＝k＋1成立時，被整除式應(yīng)為

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A．x2k+3＋y2k+3

B．x2k+2＋y2k+2

C．x2k+1＋y2k+1

D．x2k＋y2k

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