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例1．設(shè)隨機變量ξ的分布列為

ξ	1	2	…	n
P			…

求Dξ

　解：(略)

例2．已知離散型隨機變量的概率分布為

	1	2	3	4	5	6	7
P

離散型隨機變量的概率分布為

	3．7	3．8	3．9	4	4．1	4．2	4．3
P

求這兩個隨機變量期望、均方差與標準差

解：；

；

；

=0.04, .

點評：本題中的和都以相等的概率取各個不同的值，但的取值較為分散，的取值較為集中．，，，方差比較清楚地指出了比取值更集中．

＝2，=0.02，可以看出這兩個隨機變量取值與其期望值的偏差

例3. 甲、乙兩射手在同一條件下進行射擊，分布列如下：射手甲擊中環(huán)數(shù)8，9，10的概率分別為0.2,0.6,0.2;射手乙擊中環(huán)數(shù)8，9，10的概率分別為0.4,0.2,0.24用擊中環(huán)數(shù)的期望與方差比較兩名射手的射擊水平

解：

+(10-9)；

同理有

由上可知，，所以，在射擊之前，可以預(yù)測甲、乙兩名射手所得的平均環(huán)數(shù)很接近，均在9環(huán)左右，但甲所得環(huán)數(shù)較集中，以9環(huán)居多，而乙得環(huán)數(shù)較分散，得8、10環(huán)地次數(shù)多些．

點評：本題中，和所有可能取的值是一致的，只是概率的分布情況不同．=9，這時就通過=0.4和=0.8來比較和的離散程度，即兩名射手成績的穩(wěn)定情況

例4．A、B兩臺機床同時加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時，出次品的概率如下表所示：

　　　　　　　　 A機床　　　　　　　　　　　　　　　　　 B機床

問哪一臺機床加工質(zhì)量較好

解： Eξ₁=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44,

　　 　Eξ₂=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44.

它們的期望相同，再比較它們的方差

Dξ₁=(0-0.44)²×0.7+(1-0.44)²×0.2+(2-0.44)²

×0.06+(3-0.44)²×0.04=0.6064,

Dξ₂=(0-0.44)²×0.8+(1-0.44)²×0.06+(2-0.44)²

×0.04+(3-0.44)²×0.10=0.9264.

∴Dξ₁< Dξ₂　 故A機床加工較穩(wěn)定、質(zhì)量較好.

4.其它：

⑴隨機變量ξ的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；

⑵隨機變量ξ的方差、標準差也是隨機變量ξ的特征數(shù)，它們都反映了隨機變量取值的穩(wěn)定與波動、集中與離散的程度；

⑶標準差與隨機變量本身有相同的單位，所以在實際問題中應(yīng)用更廣泛

3.方差的性質(zhì)：(1)；(2)；

(3)若ξ-B(n，p)，則np(1-p) 　

2. 標準差:的算術(shù)平方根叫做隨機變量ξ的標準差，記作．

1. 方差: 對于離散型隨機變量ξ，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取這些值的概率分別是，，…，，…，那么,

＝++…++…

稱為隨機變量ξ的均方差，簡稱為方差，式中的是隨機變量ξ的期望．

13.若ξB(n,p)，則Eξ=np 　

12. 期望的一個性質(zhì):

10. 數(shù)學(xué)期望是離散型隨機變量的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平

11 平均數(shù)、均值:在有限取值離散型隨機變量ξ的概率分布中，令…，則有…，…，所以ξ的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均值

9.數(shù)學(xué)期望:　 一般地，若離散型隨機變量ξ的概率分布為

則稱 ……　 為ξ的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望．

8.幾何分布： g(k，p)= ，其中k＝0,1,2,…， ．

ξ	1	2	3	…	k	…
P				…		…