Question

3．在△ABO中，∠AOB=90°，AO=BO，直線MN經(jīng)過點(diǎn)O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D
（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖①的位置時(shí)，求證：CD=AC+BD；
（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖②的位置時(shí)，求證：CD=AC-BD；
（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖③的位置時(shí)，試問：CD、AC、BD有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）通過證明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=AC+BD；
（2）通過證明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=AC-BD；
（3）通過證明△ACO≌△ODB得到OC=BD，AC=OD，則CD=BD-AC．

解答 解：（1）如圖1，∵△AOB中，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
直線MN經(jīng)過點(diǎn)O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在△ACO和△ODB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠ODB=90°}\\{∠OAC=BOD}\\{AO=OB}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，
∴CD=AC+BD；

（2）如圖2，∵△AOB中，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
直線MN經(jīng)過點(diǎn)O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在△ACO和△ODB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠ODB=90°}\\{∠OAC=BOD}\\{AO=OB}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，
∴CD=OD-OC=AC-BD，即CD=AC-BD．

（3）如圖3，∵△AOB中，∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
直線MN經(jīng)過點(diǎn)O，且AC⊥MN于C，BD⊥MN于D，
∴∠ACO=∠BDO=90°
∴∠AOC+∠OAC=90°，
∴∠OAC=∠BOD，
在△ACO和△ODB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACO=∠ODB=90°}\\{∠OAC=BOD}\\{AO=OB}\end{array}\right.$，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴OC=BD，AC=OD，
∴CD=OC-OD=BD-AC，
即CD=BD-AC．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了幾何變換綜合題．需要掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，是一個(gè)探究性題目，對(duì)于學(xué)生的能力要求比較高．