Question

18．如圖①是一個(gè)直角三角形紙片，∠A=30°，BC=4cm，將其折疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C′處，折痕為BD，如圖②，再將②沿DE折疊，使點(diǎn)A落在DC′的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)A′處，如圖③
（1）求證：AD=BD；
（2）求折痕DE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)，可求得BC′的長(zhǎng)，然后在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=4 cm，可求得AB的長(zhǎng)，繼而求得AC′的長(zhǎng)，易得DC′為線段AB的垂直平分線，繼而證得結(jié)論；
（2）首先在Rt△DCB中，∠DBC′=30°，求得DC′的長(zhǎng)，然后在Rt△DC′E中，∠EDC′=30°，求得答案．

解答 解：（1）證明：由翻折可知，BC′=BC=4，
在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=4 cm，
∴AB=2BC=8 cm
∴AC′=8-4=4 cm，
∴AC′=BC′，
又∵∠DC′B=∠C=90°，
∴DC′為線段AB的垂直平分線，
∴AD=BD；

（2）解：∴在Rt△DCB中，∠DBC′=30°，
∴DC′=$\frac{BC′}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
在Rt△DC′E中，∠EDC′=30°，
∴DE=$\frac{2}{\sqrt{3}}$DC′=$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了折疊的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)．注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．