Question

10．（1）如圖，在直線m的同側有A，B兩點，在直線m上找點P，Q，使PA+PB最小，|QB-QA|最大（保留作圖痕跡）

（2）平面直角坐標系內有兩點A（2，3），B（4，5），請分別在x軸，y軸上找點P，Q，使PA+PB最小，|QB-QA|最大，則點P，Q的坐標分別為（$\frac{11}{4}$，0），（0，1）
（3）代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}-8x+41}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的最小值是10，此時x=$\frac{11}{4}$
（4）代數(shù)式$\sqrt{{x}^{2}-8x+41}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的最大值是2$\sqrt{2}$，此時x=-1．

Answer 1

分析 （1）①利用對稱的性質即可解決問題．②利用三角形兩邊之差小于第三邊即可解決問題．
（2）①點A關于x軸的對稱點A′（2，-3），求出直線A′B即可解決問題．②求出直線AB的解析式即可解決問題．
（3）欲求$\sqrt{{x}^{2}-8x+41}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的最小值，可以看作在x軸上找一點P，使得點P到（4，5），（2，3）的距離之和最小．
（4）欲求$\sqrt{{x}^{2}-8x+41}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的最大值，可以看作在x軸上找一點Q，使得Q到A（2，3），B（4，5）的距離之和最大．

解答 解：（1）①作點A關于直線m的對稱點A′，連接A′B與直線m交于點P，此時PA+PB最小，點P如圖所示．
②延長BA交直線m于Q，此時，|QB-QA|最大，點Q如圖所示．


（2）點A關于x軸的對稱點A′（2，-3），
直線A′B的解析式為y=4x-11，y=0時，x=$\frac{11}{4}$，
所以點P坐標（$\frac{11}{4}$，0）．
直線AB解析式為y=x+1，與y軸的交點為（0，1），
所以點Q坐標（0，1）．
故答案為（$\frac{11}{4}$，0），（0，1）

（3）∵$\sqrt{{x}^{2}-8x+41}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$=$\sqrt{（x-4）^{2}+{5}^{2}}$+$\sqrt{（x-2）^{2}+{3}^{2}}$，
欲求$\sqrt{{x}^{2}-8x+41}$+$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的最小值，
可以看作在x軸上找一點P，使得點P到（4，5），（2，3）的距離之和最小，
由（2）可知x=$\frac{11}{4}$，最小值=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
故答案為10，$\frac{11}{4}$．

（4）∵$\sqrt{{x}^{2}-8x+41}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$═$\sqrt{（x-4）^{2}+{5}^{2}}$-$\sqrt{（x-2）^{2}+{3}^{2}}$，
欲求$\sqrt{{x}^{2}-8x+41}$-$\sqrt{{x}^{2}-4x+13}$的最大值，
可以看作在x軸上找一點Q，使得Q到A（2，3），B（4，5）的距離之和最大，
∵直線AB解析式為y=x+1，與x軸交于點Q（-1，0），
∴x=-1時，此時最大值=2$\sqrt{2}$．
故答案為2$\sqrt{2}$，-1．

點評 本題考查軸對稱、坐標與圖形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用對稱確定最值問題，學會轉化的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．