Question

5．如圖1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，DE⊥BC交邊AC于點(diǎn)E，點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠PDQ=90°．
（1）求ED、EC的長(zhǎng)；
（2）若BP=2，求CQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求得BC=10．通過“兩角法”證得△CDE∽△CAB，則對(duì)應(yīng)邊成比例DE：AB=CE：CB=CD：CA，由此可以求得DE、CE的值；
（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在AB上時(shí)，由∠PDQ=90°就可以得出∠2=∠4，就可以證明△PBD∽△QED，就可以EQ的值，從而求得CQ的值；如圖2-1，當(dāng)P點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，證明△PBD∽△QED，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論；

解答 解：：（1）如圖1，∵∠A=90°，AB=6，AC=8，
∴根據(jù)勾股定理得到，BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=10
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=5．
∵DE⊥BC．
∴∠A=∠CDE=90°∠C=∠C
∴△CDE∽△CAB
∴DE：AB=CE：CB=CD：CA，
即DE：6=CE：10=5：8
∴DE=$\frac{15}{4}$，CE=$\frac{25}{4}$；
（2）如圖2，∵△CDE∽△CAB，
∴∠B=∠DEC．
∵∠PDQ=90°
∴∠1+∠4=90°．
∵∠1+∠2=90°
∴∠2=∠4，
∴△PBD∽△QED，
∴$\frac{PB}{EQ}$=$\frac{BD}{ED}$，
∴$\frac{2}{EQ}$=$\frac{5}{\frac{15}{4}}$，
∴EQ=$\frac{3}{2}$，
∴CQ=CE-EQ=$\frac{25}{4}$-$\frac{3}{2}$=$\frac{19}{4}$．
如圖2-1，∵∠B=DEC，
∴∠PBD=∠QED．
∵∠PDQ=90°
∴∠1+∠2=90°．
∵∠3+∠2=90°
∴∠1=∠3，
∴△PBD∽△QED
∴$\frac{PB}{EQ}$=$\frac{BD}{ED}$，
∴$\frac{2}{QE}$=$\frac{5}{\frac{15}{4}}$，
∴EQ=$\frac{3}{2}$，
∴CQ=$\frac{25}{4}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{31}{4}$，
故CQ=$\frac{19}{4}$或$\frac{31}{4}$；

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，分類討論思想在解實(shí)際問題的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用三角函數(shù)值求證三角形的角相等是難點(diǎn)，證明三角形相似是關(guān)鍵．