Question

12．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-$\frac{4}{3}{x}^{2}+bx+c$與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，其中B（3，0），C（0，4），點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上．
（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）連接AC、BC，設(shè)點(diǎn)P是x軸正半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM∥BC交射線AC于點(diǎn)M，連接CP，請?zhí)骄渴欠翊嬖谑筍_△CPM=2的P點(diǎn)？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請簡述理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法確定拋物線解析式；
（2）先利用勾股定理求出AC，再判斷出△AOC∽△AHP，表示出PH，再分點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論．

解答 解：（1）∵拋物線y=-$\frac{4}{3}{x}^{2}+bx+c$經(jīng)過B（3，0）．C（0，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{4}{3}{x}^{2}+3b+3=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{8}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4，
設(shè)y=0，
∴-$\frac{4}{3}$x²+$\frac{8}{3}$x+4=0，
∴x₁=3，x₂=-1，
∵點(diǎn)A在x軸上，
∴A（-1，0）；
（2）存在；如圖

∵在Rt△AOC中，OA=1，OC=4，
∴AC=$\sqrt{17}$，
過點(diǎn)P作PH⊥AC，
∵P在x軸正半軸上，
∴設(shè)P（t，0），
∵A（-1，0），
∴PA=t+1，
∵∠AOC=∠PHA=90°，∠A=∠A，
∴△AOC∽△AHP，
∴$\frac{OC}{AC}$=$\frac{HP}{AP}$，
∴$\frac{4}{\sqrt{17}}=\frac{HP}{t+1}$，
∴PH=$\frac{4\sqrt{17}（t+1）}{17}$，
∵PM∥BC，$\frac{BP}{AB}=\frac{CM}{AC}$，
∵B（3，0），P（t，0），
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，BP=3-t，
∴$\frac{3-t}{4}=\frac{CM}{\sqrt{17}}$，
∴CM=$\frac{\sqrt{17}（3-t）}{4}$，
∵S_△PCM=2，
∴$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{17}（3-t）}{4}×\frac{4\sqrt{17}（t+1）}{17}=2$，
∴t=1，
∴P（1，0），
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，BP=t-3，
∴$\frac{t-3}{4}=\frac{CM}{\sqrt{17}}$，
∴CM=$\frac{\sqrt{17}（t-3）}{4}$，
∴$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{17}（t-3）}{4}×\frac{4\sqrt{17}（t+1）}{17}=2$，
∴t=1±2$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)P是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴P（1+2$\sqrt{2}$，0），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），（1+2$\sqrt{2}$，0）．

點(diǎn)評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了用待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，用點(diǎn)P（t，0）中的t表示出CM，PH是解本題的關(guān)鍵，分點(diǎn)P在點(diǎn)B左和右兩種情況是本題的難點(diǎn)．