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周期函數(shù)的定義：對于定義域內(nèi)的每一個，都存在非零常數(shù)，使得

恒成立，則稱函數(shù)具有周期性，叫做的一個周期，

則()也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期. 幾種特殊的抽象函數(shù)：具有周期性的抽象函數(shù)：

函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任一實數(shù)(其中為常數(shù)),

①　　 ，則是以為周期的周期函數(shù)；

�、�，則是以為周期的周期函數(shù)；

③，則是以為周期的周期函數(shù)；

�、�，則是以為周期的周期函數(shù)；　　　　　　　　　

⑤，則是以為周期的周期函數(shù).

⑥，則是以為周期的周期函數(shù).

⑦，則是以為周期的周期函數(shù).

⑧函數(shù)滿足()，若為奇函數(shù)，則其周期為，

若為偶函數(shù)，則其周期為.

⑨函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對稱，則函數(shù)是以

為周期的周期函數(shù)；

⑩函數(shù)的圖象關(guān)于兩點、都對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；

⑾函數(shù)的圖象關(guān)于和直線都對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；

(天津)在上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且，若在區(qū)間

是減函數(shù)，則函數(shù)

在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)

在區(qū)間上是增函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)

在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是增函數(shù)

在區(qū)間上是減函數(shù)，區(qū)間上是減函數(shù)

(遼寧文)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(　　 )

(福建)已知函數(shù)為上的減函數(shù)，則滿足的實數(shù)的范圍是　 　　　　　　　　　

(天津)在上定義的函數(shù)是偶函數(shù)，且，若在區(qū)間

上是減函數(shù)，則

在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)

在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)

在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)

在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)

(重慶)已知定義域為的函數(shù)在上為減函數(shù)，且函數(shù)

為偶函數(shù)，則　

(山東)下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是

(天津)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

則的取值范圍是　　 　　　　　　

(重慶)若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上是減函數(shù)，且，

則使得的的取值范圍是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 ；　　　 ；；　

(北京文)已知是上的增函數(shù)，那么的取值范圍是

(以前)已知若試確定的單調(diào)區(qū)間和單調(diào)性．

(全國Ⅰ文)設(shè)為實數(shù)，函數(shù)在和都是增函數(shù)，求的取值范圍。

(安徽文)設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。(Ⅰ)求、的值。(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間與極值。

利用函數(shù)單調(diào)性定義證明：＝在上是減函數(shù)

函數(shù)在上為增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍

下列函數(shù)中，在區(qū)間上是增函數(shù)的是　　 　　　　　

已知在上是的減函數(shù)，則的取值范圍是

為上的減函數(shù)，，則

如果奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，且最小值為，那么在區(qū)間上是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 　增函數(shù)且最小值為　　 　 　 　　增函數(shù)且最大值為

減函數(shù)且最小值為　　　　　　 減函數(shù)且最大值為

已知是定義在上的偶函數(shù)，它在上遞減，那么一定有

　　　 　　　　　　　　　　　　　　 ≥

　　　　　　　　　　　　　　 ≤

已知是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，則是增函數(shù)的區(qū)間是

(湖南文)若與在區(qū)間上都是減函數(shù)，則

的取值范圍是(　 ) 　　

(上海)若函數(shù)在上為增函數(shù),則實數(shù)、的范圍是

已知偶函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，若，，，則、、之間的大小關(guān)系是_____________

已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，若，求實數(shù)

的取值范圍.

已知函數(shù)，求函數(shù)的定義域，并討論它的奇偶性和單調(diào)性.

設(shè)，是上的偶函數(shù)．求的值；

證明在上為增函數(shù)．

(北京東城模擬)函數(shù)對任意的，都有，

并且當時.求證：是上的增函數(shù)；

若，解不等式

已知函數(shù)的定義域是的一切實數(shù)，對定義域內(nèi)的任意都有

，且當時，

求證：是偶函數(shù)； 在上是增函數(shù)；

解不等式．

函數(shù)的遞增區(qū)間是　　　　　 　　

已知是上的奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則在上的單調(diào)性為

已知奇函數(shù)在單調(diào)遞增，且，則不等式的解集是

若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是

函數(shù)在遞增區(qū)間是，則的遞增區(qū)間是

問題1．(全國,節(jié)選)設(shè)函數(shù)，其中.略；

　　 求證：當≥時，函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)

問題2．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，試求的取值范圍

問題3．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

問題4．若函數(shù)在單調(diào)遞增，且，則實數(shù)的取值范

圍是　　 　　　　

若,則不等式＜的解集為 　　　　

問題5．(山東模擬)設(shè)是定義在上的函數(shù)，且對任意實數(shù)、都有

.求證：是奇函數(shù)；若當時，有，

則在上是增函數(shù).

討論函數(shù)單調(diào)性必須在其定義域內(nèi)進行，因此要研究函數(shù)單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；

判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法有：用定義；用已知函數(shù)的單調(diào)性；利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；如果在區(qū)間上是增(減)函數(shù)，那么在的任一非空子區(qū)間上也是增(減)函數(shù)圖象法；復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論：“同增異減” 奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)具有相反的單調(diào)性.

　互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性．

在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)。

函數(shù)在上單調(diào)遞增；

在上是單調(diào)遞減。

證明函數(shù)單調(diào)性的方法：利用單調(diào)性定義①；利用單調(diào)性定義②

函數(shù)單調(diào)性的定義：

①如果函數(shù)對區(qū)間內(nèi)的任意，當時都有，則在內(nèi)是增函數(shù)；當時都有，則在內(nèi)時減函數(shù)。

②設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若，則為的增函數(shù)；若，則為的減函數(shù).

單調(diào)性的定義①的等價形式：

設(shè)，那么在是增函數(shù)；

在是減函數(shù)；

在是減函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷．

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用.利用定義都是充要性命題.

即若在區(qū)間上遞增(遞減)且()；

若在區(qū)間上遞遞減且.().

①比較函數(shù)值的大�、诳捎脕斫獠坏仁�.③求函數(shù)的值域或最值等

　(全國)已知函數(shù)，若，則

　(全國Ⅰ文)已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則　　　　 　　

(江蘇)已知，函數(shù)為奇函數(shù)，則

(遼寧)設(shè)是上的任意函數(shù)，下列敘述正確的是(　)

是奇函數(shù)　　 是奇函數(shù)

是偶函數(shù)　　 是偶函數(shù)

(遼寧文)已知為奇函數(shù)，若，則　　 　

(廣東)若函數(shù)，則是(　　 )

最小正周期為的奇函數(shù)　　　　　 最小正周期為的奇函數(shù)

最小正周期為的偶函數(shù)　　　　 最小正周期為的偶函數(shù)

(海南)設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，則　　　　　

(海南文)設(shè)函數(shù)為偶函數(shù)，則　　　　　

(江蘇)設(shè)是奇函數(shù)，則使的的取值范圍是

　(江西)設(shè)函數(shù)是上以為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線

在處的切線的斜率為 　　　 　 　　 　　　 　　

設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，．　

討論的奇偶性； 求 的最小值．

(上海，本題滿分分)已知函數(shù)，常數(shù).

討論函數(shù)的奇偶性，并說明理由

若在上是增函數(shù)，求的取值范圍.

判斷下列函數(shù)的奇偶性：

；　　　　　 ；

；　 　　　　　　；

(其中，)

(南昌模擬)給出下列函數(shù)①②③④，

其中是奇函數(shù)的是(　　 )　 ①②　 　①④　　 　②④　　 　③④

已知函數(shù)在是奇函數(shù)，且當時，，則時，

的解析式為_______________

(上海春)已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù).當時，

，則當時，　　 　　　　　　

已知為上的奇函數(shù)，當時，，那么的值為

若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且，則　　　　 　，

定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，則常數(shù)____,_____

(北京西城模擬)已知函數(shù)對一切，都有，

求證：為奇函數(shù)；若，用表示.

( 重慶文)已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)。

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；

設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，且，又當≤≤時，，證明：直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸；

當時，求的解析式

已知函數(shù),是偶函數(shù),則 　　　　

已知為奇函數(shù)，則的值為　　　　　　

已知，其中為常數(shù)，若，

則_______　　

若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則函數(shù)的圖象關(guān)于

軸對稱　　 軸對稱　　 原點對稱　　 以上均不對

函數(shù)是偶函數(shù)，且不恒等于零，則

是奇函數(shù)　　　　　　　　　　　 是偶函數(shù)　　　

可能是奇函數(shù)也可能是偶函數(shù)　　 不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)