Question

7．定義兩個(gè)平面向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的一種運(yùn)算$\overrightarrow a?\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|sinθ$，θ為向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的夾角，對(duì)于這種運(yùn)算，給定以下結(jié)論：①$\overrightarrow a?\overrightarrow b=\overrightarrow b?\overrightarrow a$；②$λ（\overrightarrow a?\overrightarrow b）=（λ\overrightarrow a）?\overrightarrow b$；③$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）?\overrightarrow c=（\overrightarrow a?\overrightarrow c）+（\overrightarrow b?\overrightarrow c）$；④若$\overrightarrow a=（{x_1}，{y_1}）$，$\overrightarrow b=（{x_2}，{y_2}）$，則$\overrightarrow a?\overrightarrow b=|{{x_1}{y_2}-{x_2}{y_1}}|$，你認(rèn)為恒成立的有（　�。�

• A． 1個(gè)
• B． 2個(gè)
• C． 3個(gè)
• D． 4個(gè)

Answer 1

分析 ①根據(jù)定義不難得出是正確的；
②需對(duì)參數(shù)λ進(jìn)行分類討論，再依據(jù)定義即可判斷其正確性；
③取$\overrightarrow{a}$=-$\overline$時(shí)直接代入定義即可驗(yàn)證；
④根據(jù)給出的兩向量的坐標(biāo)，求出對(duì)應(yīng)的模，運(yùn)用向量數(shù)量積公式求兩向量夾角的余弦值，則正弦值可求，最后直接代入定義即可．

解答 解：對(duì)于①$\overrightarrow a?\overrightarrow b=|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|sinθ$=$\overline$?$\overline{a}$，故恒成立，
對(duì)于②；②λ（$\overrightarrow{a}$?$\overline$）=λ|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|sinθ，（λ$\overrightarrow{a}$?$\overline$）=|λ$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|sinφ，（φ是λ$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角），當(dāng)λ＜0時(shí)不成立，
對(duì)于③，當(dāng)$\overrightarrow{a}$=-$\overline$時(shí)，左邊=0，右邊=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|sinθ+|$\overrightarrow{c}$||$\overrightarrow$|sin＜$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$＞≥0，顯然不成立，
對(duì)于④，（$\overrightarrow{a}$?$\overline$）²=|$\overrightarrow{a}$|²|$\overrightarrow$|²-（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$）²=（x₁²+y₁²）（x₂²+y₂²）（x₁x₂+y₁y₂）²=（x₁y₂-x₂y₁）²，故恒成立，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是平面向量的運(yùn)算，合情推理，正確理解新定義及熟練掌握向量的運(yùn)算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．