Question

18．己知曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），直線l過點M（1，0），傾斜角為α．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程，并寫出直線l的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若直線l曲線C交于點A、B，且|MA|-|MB|=1，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （I）利用cos²α+sin²α=1可得曲線C的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為直角坐標方程．由直線l過點M（1，0），傾斜角為α．可得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（II）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程可得：t²+2tcosα-3=0，利用△＞0，設方程的兩根為t₁，t₂．代入|MA|-|MB|=|t₁+t₂|=1，解得cosα即可得出．

解答 解：（I）曲線C的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），化為x²+y²=4．
由直線l過點M（1，0），傾斜角為α．
可得$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）
（II）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程可得：t²+2tcosα-3=0，
∵△＞0，設方程的兩根為t₁，t₂．
則|MA|-|MB|=|t₁+t₂|=|2cosα|=1，解得cosα=$±\frac{1}{2}$，
∴直線l的方程為：$y=±\sqrt{3}$（x-1）．

點評 本題考查了參數(shù)的方程及其應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．