Question

17．設(shè)x，y∈R，集合A={（x，y）|ax+by+1=0}，B={（x，y）|x²+y²=1}，且A∩B是一個(gè)單元素集合，若對(duì)所有的（a，b）∈{（a，b）|a＜0，b＜0}，則集合C={（x，y）|（x-a）²+（y-b）²≤1}所表示的圖形的面積等于2π．

Answer 1

分析 先根據(jù)A∩B是一個(gè)單元素集合，得到直線和圓相切，即a²+b²=1，結(jié)合圖象得到集合C的面積=半徑為1小圓的面積+半徑為2大圓的面積的$\frac{1}{4}$，問題得以解決．

解答 解：集合A={（x，y）|ax+by+1=0}，B={（x，y）|x²+y²=1}，且A∩B是一個(gè)單元素集合，
∴直線和圓相切，
∴$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=1，即a²+b²=1，
∵（a，b）∈{（a，b）|a＜0，b＜0}，C={（x，y）|（x-a）²+（y-b）²≤1}，
∴圓心在以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上的一部分（第三象限）
∴如圖所示，集合C中圓的邊界的移動(dòng)是半徑的為1的圓的邊界的移動(dòng)就是沿著那個(gè)半徑為2的那個(gè)$\frac{1}{4}$圓弧上，
∴集合C的面積=半徑為1小圓的面積+半徑為2大圓的面積的$\frac{1}{4}$，
∴集合C的面積=π+π=2π，
故答案為：2π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，以及集合與集合的關(guān)系，關(guān)鍵是畫出圖形，屬于難題．