學(xué)生基礎(chǔ)性作業(yè)九年級(jí)數(shù)學(xué)人教版
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10. 已知拋物線$y = (x - m)^2 + m + 1$．
（1）若拋物線的頂點(diǎn)在第二象限，求m的取值范圍．
（2）若$m = -2$，求以拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積．
答案：（1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(m, m + 1)$，
因?yàn)轫旤c(diǎn)在第二象限，所以$\begin{cases} m ＜ 0 \\ m + 1 ＞ 0 \end{cases}$，
解得$-1 ＜ m ＜ 0$。
（2）當(dāng)$m = -2$時(shí)，拋物線為$y = (x + 2)^2 - 1$。
與x軸交點(diǎn)：令$y = 0$，$(x + 2)^2 - 1 = 0$，$x + 2 = \pm 1$，$x_1 = -1$，$x_2 = -3$，交點(diǎn)為$(-1, 0)$，$(-3, 0)$。
與y軸交點(diǎn)：令$x = 0$，$y = 4 - 1 = 3$，交點(diǎn)為$(0, 3)$。
三角形底為$|-1 - (-3)| = 2$，高為3，面積$\frac{1}{2}×2×3 = 3$。
答：面積為3。
11. 如圖，某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10 m跳臺(tái)跳水訓(xùn)練，水面邊緣點(diǎn)E的坐標(biāo)為$(-1.5, -10)$．運(yùn)動(dòng)員（看作一點(diǎn)）在空中運(yùn)動(dòng)的路線是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線．在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在空中最高處點(diǎn)A的坐標(biāo)為$(1, 2.5)$．正常情況下，運(yùn)動(dòng)員在距水面高度5 m以前，必須完成規(guī)定的翻騰、打開動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢(shì)，否則就會(huì)失誤．運(yùn)動(dòng)員入水后，運(yùn)動(dòng)路線為另一條拋物線．
（1）求運(yùn)動(dòng)員在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)拋物線的解析式，并求入水處點(diǎn)B的坐標(biāo)．
（2）若運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，恰好距點(diǎn)E的水平距離為5 m，該運(yùn)動(dòng)員此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．
（3）在該運(yùn)動(dòng)員入水點(diǎn)的正前方有M，N兩點(diǎn)，且$EM = 10.5$m，$EN = 13.5$m，該運(yùn)動(dòng)員入水后運(yùn)動(dòng)路線對(duì)應(yīng)的拋物線解析式為$y = a(x - h)^2 + k$，且頂點(diǎn)C距水面4 m，若該運(yùn)動(dòng)員出水點(diǎn)D在M，N之間（包括M，N兩點(diǎn)），請(qǐng)直接寫出a的取值范圍．
答案：（1）設(shè)拋物線解析式為$y = a(x - 1)^2 + 2.5$，
將$O(0, 0)$代入，$0 = a(0 - 1)^2 + 2.5$，$a = -2.5$，
解析式為$y = -2.5(x - 1)^2 + 2.5$。
入水時(shí)$y = -10$，$-10 = -2.5(x - 1)^2 + 2.5$，
$(x - 1)^2 = 5$，$x - 1 = \pm \sqrt{5}$，$x = 1 + \sqrt{5}$（舍去負(fù)值），
$B(1 + \sqrt{5}, -10)$。
（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為$(-1.5, -10)$，水平距離5 m，
若在E右側(cè)，$x = -1.5 + 5 = 3.5$，
$y = -2.5(3.5 - 1)^2 + 2.5 = -2.5×6.25 + 2.5 = -15.625 + 2.5 = -13.125$，
距水面高度為$-10 - (-13.125) = 3.125 ＜ 5$，會(huì)失誤。
（3）$\frac{1}{8} \leq a \leq \frac{4}{25}$
