學(xué)生基礎(chǔ)性作業(yè)九年級(jí)數(shù)學(xué)人教版
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8. 設(shè)$x_{1},x_{2}$是方程$x^{2}-mx=0$的兩個(gè)根，且$x_{1}+x_{2}=-3$，則$m$的值是______.
答案：-3
解析：方程$x^{2}-mx=0$中，$a=1$，$b=-m$，$c=0$，由韋達(dá)定理得$x_{1}+x_{2}=-\frac{a}=m$，已知$x_{1}+x_{2}=-3$，故$m=-3$。
9. 已知$x_{1},x_{2}$是一元二次方程$x^{2}-3x-5=0$的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則$(x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}$的值是______.
答案：-11
解析：方程$x^{2}-3x-5=0$中，$a=1$，$b=-3$，$c=-5$，由韋達(dá)定理得$x_{1}+x_{2}=3$，$x_{1}x_{2}=-5$。$(x_{1}-x_{2})^{2}+3x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}+3x_{1}x_{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}x_{2}=3^{2}-(-5)=9 + 5=14$。
10. 若一元二次方程$2x^{2}-4x-1=0$的兩個(gè)根為$m,n$，則$3m^{2}-4m+n^{2}$的值為_(kāi)_____.
答案：$\frac{7}{2}$
解析：因?yàn)?m$是方程$2x^{2}-4x-1=0$的根，所以$2m^{2}-4m-1=0$，即$2m^{2}-4m=1$，$m^{2}-2m=\frac{1}{2}$。由韋達(dá)定理得$m + n=-\frac{-4}{2}=2$，$mn=-\frac{1}{2}$。$3m^{2}-4m + n^{2}=2m^{2}-4m + m^{2}+n^{2}=1+(m + n)^{2}-2mn=1 + 2^{2}-2×(-\frac{1}{2})=1 + 4 + 1=6$。
11. 已知關(guān)于$x$的一元二次方程$x^{2}+3x + k-3=0$有實(shí)數(shù)根.
（1）求實(shí)數(shù)$k$的取值范圍.
（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為$x_{1},x_{2}$，若$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=-1$，求$k$的值.
答案：（1）$k\leqslant\frac{21}{4}$
解析：方程$x^{2}+3x + k-3=0$中，$\Delta=3^{2}-4×1×(k - 3)=9-4k + 12=21-4k$，因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)根，所以$\Delta\geqslant0$，即$21-4k\geqslant0$，解得$k\leqslant\frac{21}{4}$。
（2）$k=5$
解析：由韋達(dá)定理得$x_{1}+x_{2}=-3$，$x_{1}x_{2}=k - 3$。$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}+1=(k - 3)+(-3)+1=k - 5$，已知$(x_{1}+1)(x_{2}+1)=-1$，所以$k - 5=-1$，解得$k=5$，且$5\leqslant\frac{21}{4}$，符合題意。
12. 法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)在其著作中建立了方程根與系數(shù)的關(guān)系，人們把這個(gè)表示方程根與系數(shù)關(guān)系的定理稱(chēng)為韋達(dá)定理.
韋達(dá)定理的內(nèi)容如下：已知一元二次方程$ax^{2}+bx + c=0(a\neq0)$，它的兩個(gè)根$\alpha,\beta$滿(mǎn)足關(guān)系$\alpha+\beta=-\frac{a}$，$\alpha\beta=\frac{c}{a}$. 韋達(dá)定理還有逆定理，內(nèi)容如下：如果兩個(gè)數(shù)$\alpha$和$\beta$滿(mǎn)足關(guān)系$\alpha+\beta=-\frac{a}$，$\alpha\beta=\frac{c}{a}$，那么這兩個(gè)數(shù)$\alpha$和$\beta$是方程$ax^{2}+bx + c=0(a\neq0)$的根. 通過(guò)韋達(dá)定理的逆定理，我們就可以利用兩個(gè)數(shù)的和、積的關(guān)系構(gòu)造一元二次方程.
請(qǐng)應(yīng)用上述材料解決以下問(wèn)題：
（1）材料理解
已知$m,n$是兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)，若$m + n=3$，$mn=-1$，則$m,n$可以看成是一元二次方程______的兩個(gè)根.
（2）類(lèi)比應(yīng)用
已知$m,n$是兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足$mn+(m + n)=13$，$mn(m + n)=42$.
① 請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)以$mn$和$m + n$的值為根的一元二次方程.
② 若$m + n＞mn$，請(qǐng)根據(jù)你寫(xiě)的方程求出$m + n$和$mn$的值.
答案：（1）$x^{2}-3x - 1=0$
解析：設(shè)方程為$x^{2}-(m + n)x + mn=0$，將$m + n=3$，$mn=-1$代入得$x^{2}-3x - 1=0$。
（2）① $x^{2}-13x + 42=0$
解析：設(shè)$p=mn$，$q=m + n$，則$p + q=13$，$pq=42$，方程為$x^{2}-(p + q)x + pq=0$，即$x^{2}-13x + 42=0$。
② $m + n=7$，$mn=6$
解析：解方程$x^{2}-13x + 42=0$，$(x - 6)(x - 7)=0$，得$x=6$或$x=7$。因?yàn)?m + n＞mn$，所以$m + n=7$，$mn=6$。
