Question

2．如圖，點B在線段AF上，分別以AB、BF為邊在線段AF的同側作正方形ABCD和正方形BFGE，連接CF和DE，CF交EG于H．
（1）若E是BC的中點，求證：DE=CF；
（2）若∠CDE=30°，求$\frac{HG}{GF}$的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段中點的定義可得BE=CE，再根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=CD，BE=BF，然后求出BF=CE，再利用“邊角邊”證明△BCF和△CDE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得DE=CF；
（2）設CE=x，根據(jù)∠CDE的正切值表示出CD，然后求出BE，從而得到∠BCF的正切值，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠BCF=∠GFH，然后根據(jù)等角的正切值相等解答即可．

解答 （1）證明：∵E是BC的中點，
∴BE=CE，
在正方形ABCD和正方形BFGE中，BC=CD，BE=BF，
∴BF=CE，
在△BCF和△CDE中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=CD}\\{∠CBF=∠DCE=90°}\\{BF=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△CDE（SAS），
∴DE=CF；

（2）解：設CE=x，∵∠CDE=30°，
∴tan∠CDE=$\frac{x}{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴CD=$\sqrt{3}$x，
∵正方形ABCD的邊BC=CD，
∴BE=BC-CE=$\sqrt{3}$x-x，
∵正方形BFGE的邊長BF=BE，
∴tan∠BCF=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{\sqrt{3}x-x}{\sqrt{3}x}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$，
∵正方形BGFE對邊BC∥GF，
∴∠BCF=∠GFH，
∵tan∠GFH=$\frac{HG}{GF}$，
∴$\frac{HG}{GF}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，銳角三角函數(shù)，（1）熟練掌握三角形全等的判定方法并準確確定出全等三角形是解題的關鍵，（2）用CE表示出兩個正方形的邊長是解題的關鍵，也是本題的難點．