Question

12．如圖，在正方形ABCD中，線段EF，GH分別與正方形兩邊平行，且EF，GF相交于點(diǎn)M，連接AF，AH，AE的長為m，AG的長為n，矩形CFMH的面積是矩形AEMG的面積的2倍．
（1）求點(diǎn)H，F(xiàn)之間的距離．（用m，n表示）
（2）猜出∠FAH的度數(shù)，并說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)正方形邊長為a，AG=m，GP=n，則HC=a-n，CF=a-m，根據(jù)矩形CFMH的面積是矩形AEMG的面積的2倍，得到a²-（m+n）a=mn，再根據(jù)FH²=CH²+CF²，計(jì)算即可解決問題．
（2）結(jié)論：∠FAH=45°．連結(jié)FH，延長CB到N，使BN=DF，連結(jié)AN，先證明△ABN≌△ADF，推出∠FAN=90°，再證明△ANF≌△AFH即可解決問題．

解答 （1）解：設(shè)正方形邊長為a，AG=m，GP=n，則HC=a-n，CF=a-m，
∵矩形CFMH的面積是矩形AEMG的面積的2倍
∴a²-（m+n）a+mn=2mn，
∴a²-（m+n）a=mn，
在直角三角形FCH中，∵FH²=CH²+CF²，
∴FH²=（a-n）²+（a-m）²=2a²-2（m+n）a+m²+n²=（m+n）²，
∵FH＞0，
∴FH=m+n．
（2）結(jié)論：∠FAH=45°．
證明：如圖，連結(jié)FH，延長CB到N，使BN=DF，連結(jié)AN，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABH=∠ABN=90°，
在△ABN和△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABN=∠D}\\{BN=DF}\end{array}\right.$，
∴△ABN≌△ADF，
∴AN=AF，∠NAB=∠FAD，
∴∠NAF=∠NAB+∠BAF=∠BAF+∠FAD=90°，
∵NH=m+n，F(xiàn)H=m+n，
∴FH=NH，
在△AHF和△AHN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AH=AH}\\{AF=AN}\\{HF=HN}\end{array}\right.$，
∴△ANF≌△AFH，
∴∠HAF=∠HAN，
∵∠FAN=90°，
∴∠FAH=$\frac{1}{2}$∠FAN=45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學(xué)會(huì)常用輔助線的添加方法，屬于中考�？碱}型．