Question

11．如圖，AB為⊙O的直徑，D為$\widehat{AC}$的中點，連接OD交弦AC于點F，過點D作DE∥AC，交BA的延長線于點E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）連接CD，若OA=AE=4，求四邊形ACDE的面積．

Answer 1

分析 （1）欲證明DE是⊙O的切線，只要證明AC⊥OD，ED⊥OD即可．
（2）由△AFO≌△CFD（SAS），推出S_△AFO=S_△CFD，推出S_{四邊形ACDE}=S_△ODE，求出△ODE的面積即可．

解答 （1）證明：∵D為$\widehat{AC}$的中點，
∴OD⊥AC，
∵AC∥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；

（2）解：連接DC，
∵D為$\widehat{AC}$的中點，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∵AC∥DE，且OA=AE，
∴F為OD的中點，即OF=FD，
在△AFO和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CF}\\{∠AFO=∠CFD}\\{OF=FD}\end{array}\right.$
∴△AFO≌△CFD（SAS），
∴S_△AFO=S_△CFD，
∴S_{四邊形ACDE}=S_△ODE
在Rt△ODE中，OD=OA=AE=4，
∴OE=8，
∴DE=$\sqrt{O{E}^{2}-O{D}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形ACDE}=S_△ODE=$\frac{1}{2}$×OD×DE=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$．

點評 本題考查切線的判定、全等三角形的判定和性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．