Question

2．△ABC中，AB=12，AC=$\sqrt{39}$，∠B=30°，則△ABC的面積是21$\sqrt{3}$或15$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 過A作AD⊥BC于D（或延長線于D），根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到AD的長，再根據(jù)勾股定理得到BD，CD的長，再分兩種情況：如圖1，當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部時(shí)、如圖2，當(dāng)AD在△ABC外部時(shí)，進(jìn)行討論即可求解．

解答 解：①如圖1，作AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，

在Rt△ABD中，∵AB=12、∠B=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=6，BD=ABcosB=12×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，
在Rt△ACD中，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{39}）^{2}-{6}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴BC=BD+CD=6$\sqrt{3}$+$\sqrt{3}$=7$\sqrt{3}$，
則S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}$×7$\sqrt{3}$×6=21$\sqrt{3}$；
②如圖2，作AD⊥BC，交BC延長線于點(diǎn)D，

由①知，AD=6、BD=6$\sqrt{3}$、CD=$\sqrt{3}$，
則BC=BD-CD=5$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{3}$×6=15$\sqrt{3}$，
故答案為：21$\sqrt{3}$或15$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，本題關(guān)鍵是得到BC和AD的長，同時(shí)注意分類思想的運(yùn)用．