Question

14．如圖，F(xiàn)是正方形ABCD的邊BC上的一個(gè)點(diǎn)（F與B，C兩點(diǎn)不重合），過點(diǎn)F作射線FP⊥AF，∠DCG的平分線交FP于M，求證：AF=FM．

Answer 1

分析 在AB上截取BH=BF，連接HF，則△BHF是等腰直角三角形，AH=FC，證出∠AHF=∠FCM，∠1=∠2，由ASA證明△AHF≌△FCM，得出對應(yīng)邊相等即可．

解答 證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=∠BCD=90°=∠DCG，
∵CM平分∠DCG，
∴∠DCM=$\frac{1}{2}$∠DCG=45°，
∴∠FCM=90°+45°=135°．
在AB上截取BH=BF，連接HF，如圖，則△BHF是等腰直角三角形，AH=CF，
∴∠BHF=∠BFH=45°，
∴∠AHF=135°，
∴∠1+∠HFA=45°，∠AHF=∠FCM，
∵FP⊥AF，
∴∠AFM=90°，
∴∠2+∠HFA=45°，
∴∠1=∠2．
在△AHF和△FCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{AH=FC}\\{∠AHF=∠FCM}\end{array}\right.$，
∴△AHF≌△FCM（ASA），
∴AF=FM．

點(diǎn)評 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握正方形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．