Question

10． 在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC與AB相交于點(diǎn)E，且AD=AC，EC與AD相交于點(diǎn)F．
（1）求證：△ABC∽△FCD；
（2）若DE=5，BC=16，求△FCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由DE⊥BC，D是BC的中點(diǎn)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得BE=CE，又由AD=AC，易得∠B=∠DCF，∠FDC=∠ACB，即可證得△ABC∽△FCD；
（2）首先過(guò)A作AG⊥CD，垂足為G，易得△BDE∽△BGA，可求得AG的長(zhǎng)，繼而求得△ABC的面積，然后由相似三角形面積比等于相似比的平方，求得△FCD的面積．

解答 （1）證明：∵D是BC的中點(diǎn)，DE⊥BC，
∴BE=CE，
∴∠B=∠DCF，
∵AD=AC，
∴∠FDC=∠ACB，
∴△ABC∽△FCD；

（2）解：過(guò)A作AG⊥CD，垂足為G．
∵AD=AC，
∴DG=CG，
∴BD：BG=2：3，
∵ED⊥BC，
∴ED∥AG，
∴△BDE∽△BGA，
∴ED：AG=BD：BG=2：3，
∵DE=5，
∴AG=$\frac{15}{2}$，
∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，
∴$\frac{{S}_{△FCD}}{{S}_{△ABC}}$=（$\frac{CD}{BC}$）²=$\frac{1}{4}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AG=$\frac{1}{2}$×16×$\frac{15}{2}$=60，
∴S_△FCD=$\frac{1}{4}$S_△ABC=15．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．