Question

18．已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，點F是BC的中點，點D、E是邊BC上兩個動點（不與點B、C重合），且∠DAE=60°
（1）如圖（1），當DF=FE時，$\frac{BD}{DF}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{CE}{EF}$=$\frac{1}{2}$；
（2）如圖（2），當DF≠FE時，求證：BD•CE=4DF•FE．

Answer 1

分析 （1）如圖1，連接AF，根據等腰三角形的性質得到AF⊥BC，BF=CF，∠BAF=∠CAF=60°，∠B=∠C=30°，∠DAF=30°，根據等腰三角形的判定得到BD=AD，根據直角三角形的性質即可得到結論；
（2）如圖2，連接AF，過D作DG⊥AB于G，過E作EH⊥AC于H，根據直角三角形的性質得到DG=$\frac{1}{2}$BD，EH=$\frac{1}{2}$CE，根據相似三角形的判定和性質即可得到結論．

解答 解：（1）如圖1，連接AF，
∵AB=AC，點F是BC的中點，
∴AF⊥BC，BF=CF，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAF=∠CAF=60°，∠B=∠C=30°，
∵DF=EF，
∴AD=AE，∵∠DAE=60°，
∴∠DAF=30°，
∠B=∠DAF，
∴BD=AD，
∵$\frac{AD}{DF}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{DF}$=$\frac{1}{2}$，同理$\frac{CE}{EF}$=$\frac{1}{2}$；
故答案為：$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$；
（2）如圖2，連接AF，過D作DG⊥AB于G，過E作EH⊥AC于H，
∵∠B=∠C=30°，
∴DG=$\frac{1}{2}$BD，EH=$\frac{1}{2}$CE，
∵∠BAF=∠EAE=60°，
∴∠GAD=∠EAF，
∵∠EGA=∠AFE=90°，
∴△ADG∽△AEF，
∴$\frac{DG}{EF}=\frac{AD}{AE}$，
即$\frac{\frac{1}{2}BD}{EF}=\frac{AD}{AE}$，
同理$\frac{DF}{\frac{1}{2}CE}$=$\frac{AD}{AE}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}BD}{EF}=\frac{DF}{\frac{1}{2}CE}$，
∴BD•CE=4DF•FE．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，直角三角形的性質，熟練掌握相似三角形的性質和判定是解題的關鍵．