Question

5．如圖，已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x²-x-4與x軸交于B，C，與y軸交于A，點P是拋物線上一點，且∠ACP+∠OAB=∠ACB，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 令y=0，則$\frac{1}{2}$x²-x-4=0，解得：x₁=-2，x₂=4，得到B（-2，0），C（4，0），令x=0，則y=-4，得到A（0，-4），求得OA=OC=4，OB=2，推出∠ACO=45°，過A，C分別作c軸，y軸的平行線交于G，則四邊形OAGC是正方形，得到∠ACG=45°，AP′=OC=4，作∠OCP=∠GCP′=∠BAO分別交y軸，x軸于M，N，交拋物線與P，P′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到M（0，-2），N（2，-4），求得直線CM的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-2，直線CN的解析式為：y=2x-8，解方程組即可得到結(jié)論．

解答 解：令y=0，則$\frac{1}{2}$x²-x-4=0，解得：x₁=-2，x₂=4，
∴B（-2，0），C（4，0），
令x=0，則y=-4，
∴A（0，-4），
∴OA=OC=4，OB=2，
∴∠ACO=45°，
過A，C分別作c軸，y軸的平行線交于G，
則四邊形OAGC是正方形，
∴∠ACG=45°，AP′=OC=4，
作∠OCP=∠GCP′=∠BAO分別交y軸，x軸于M，N，交拋物線與P，P′，
則△AOB∽△COM∽△CNG，
∴$\frac{OB}{OA}=\frac{OM}{OC}=\frac{GN}{CG}$=$\frac{1}{2}$，
∴OM=2，P′N=AN=2，
∴M（0，-2），N（2，-4），
∴直線CM的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-2，
直線CN的解析式為：y=2x-8，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-2}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=-1}\\{{y}_{1}=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=2x-8}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-x-4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=4}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$，
∴P（-1，-$\frac{5}{2}$），P′（2，-4），
∴點P的坐標(biāo)是（-1，-$\frac{5}{2}$）或（2，-4）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點，相似三角形的性質(zhì)和判定，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，正方形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．