Question

4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A的坐標(biāo)是（0，-2），在x軸上任取一點M，連接AM，作線段AM的垂直平分線l₁，過點M作x軸的垂線l₂，記l₁，l₂的交點為P．在x軸上多次改變點M的位置，得到相應(yīng)的點P，會發(fā)現(xiàn)這些點P竟然在一條拋物線L上！記點P（x，y），連接AP．
（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；
（2）若銳角∠APM的正切函數(shù)值為$\frac{4}{3}$．
①求點M的坐標(biāo)；
②設(shè)點N在直線l₂上，點Q在拋物線L上，當(dāng)PN=1，且AQ，NQ之和最小時，求點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理得出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）①利用P點在第三、四象限分別得出M點坐標(biāo)；
②根據(jù)題意首先得出N點坐標(biāo)再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式，聯(lián)立函數(shù)解析式進(jìn)而得出Q點坐標(biāo)．

解答 解：（1）如圖1，連接AP，作PB⊥y軸于B，由l₁垂直平分AM得：
PA=PM=-y；
在Rt△ABP中，BP=OM=x，BA=PM-OA=-2-y，
根據(jù)勾股定理得：（-2-y）²+x²=y²，
整理得：y=-$\frac{1}{4}$x²-1．

（2）①當(dāng)點P在第四象限時，設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{4}$x²-1）（x＞0）．
∵直線l₂垂直于x軸，
∴PM∥y軸．
∴∠APM=∠PAB，
∴tan∠PAB=tan∠PAB=$\frac{4}{3}$，即$\frac{BP}{AB}$=$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{x}{-2+\frac{1}{4}x2+1}$=$\frac{4}{3}$，
解得x₁=4，x₂=-1（不合題意，舍去）．
∴此時點M的坐標(biāo)為（4，0）．
當(dāng)點P在第三象限時，由對稱性同理可得點M的坐標(biāo)為（-4，0）．
綜上可知，點M的坐標(biāo)為（4，0）、（-4，0）．

②如圖2，當(dāng)點M為（4，0）時，點P的坐標(biāo)為（4，-5）．
∵點N在直線l₂上且PN=1，
∴點N的坐標(biāo)為N₁（4，-4）或N₂（4，-6），
當(dāng)點N在點P上方即N₁（4，-4）時，連接AN₁交拋物線于點Q₁，

設(shè)直線AN₁的解析式為y=kx+b（k≠0），把A（0，-2），N₁（4，-4）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}4k+b=-4\\ b=-2.\end{array}$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
故直線AN₁的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x-2．
由-$\frac{1}{2}$x-2=-$\frac{1}{4}$x²-1得，
解得：x₁=1+$\sqrt{5}$，x₂=1-$\sqrt{5}$（不合題意，舍去）．
∴把x=1+$\sqrt{5}$代入y=-$\frac{1}{2}$x-2得點Q₁的坐標(biāo)為（1+$\sqrt{5}$，-$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$）．
當(dāng)點N在點P下方即N₂（4，-6）時，過點Q₂作Q₂D⊥x軸于D，
∵點Q₂在此拋物線上，
∴Q₂A=Q₂D．
∴當(dāng)AQ，NQ之和最小時即為NQ+QD最小，故此時點N₂、Q₂、D三點在一條直線上，此時點Q₂與點P重合，即Q₂（4，-5）．
根據(jù)對稱性，當(dāng)點M為（-4，0）時，點P的坐標(biāo)為（-4，-5）．
∵點N在直線l₂上且PN=1，
∴點N的坐標(biāo)為N₃（-4，-4）或N₄（-4，-6），
當(dāng)點N在點P₁上方即N₃（-4，-4）時，如圖2，連接AN₃交拋物線于點Q₃，
設(shè)直線AN₃的解析式為y=kx+b（k≠0），把A（0，-2），N₃（-4，-4）代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{-4k+b=-4}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$．
故直線AN₃的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x-2．
由$\frac{1}{2}$x-2=-$\frac{1}{4}$x²-1得，
解得：x₁=-1+$\sqrt{5}$（不合題意，舍去），x₂=-1-$\sqrt{5}$
∴把x=-1-$\sqrt{5}$代入y=$\frac{1}{2}$x-2得點Q₃的坐標(biāo)為（-1-$\sqrt{5}$，-$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$）．
當(dāng)點N在點P下方即N₄（4，-6）時，過點Q₄作Q₄D₁⊥x軸于D₁，
∵點Q₂在此拋物線上，
∴Q₄A=Q₄D₁．
∴當(dāng)AQ，NQ之和最小時即為NQ+QD最小，故此時點N₄、Q₄、D₁三點在一條直線上，此時點Q₄與點P₁重合，即Q₄（-4，-5）．
故點Q₃（-1-$\sqrt{5}$，-$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$），Q₄（-4，-5），
綜上所述：點Q的坐標(biāo)為：Q₁（1+$\sqrt{5}$，-$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$），Q₂（4，-5），Q₃（-1-$\sqrt{5}$，-$\frac{5+\sqrt{5}}{2}$），Q₄（-4，-5）．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及待定系數(shù)法求一次函數(shù)以及二次函數(shù)解析式以及函數(shù)交點求法等知識，利用P點位置不同得出M點坐標(biāo)，注意不要漏解是解題關(guān)鍵．