Question

5．如圖，AB是半圓⊙O的直徑，點C是半圓上一個動點（不與點A，B重合），點D是弧AC的中點，延長CD交經(jīng)過點A的切線于點E，連接AD，當△ADE是等腰三角形時，求∠BAC的度數(shù)．

Answer 1

分析 連結BD，如圖，利用圓周角定理得到∠B+∠BAD=90°，再根據(jù)切線的性質得∠2+∠BAD=90°，則∠B=∠2，再利用圓周角定理得到∠1=∠B=∠C，易得∠3=∠1+∠C=2=2∠2，根據(jù)等腰三角的性質討論：當DE=DA時，則DE=DA=DC，此時點C與B點重合，不合題意舍去；當AD=AD，則∠E=∠3=2∠2，利用三角形內(nèi)角和可計算∠2=36°，然后利用∠BAC=90°-∠1-∠2進行計算即可．

解答 解：連結BD，如圖，
∵AB是半圓⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵AE為切線，
∴AB⊥AE，
∴∠BAE=90°，即∠2+∠BAD=90°，
∴∠B=∠2，
∵點D是弧AC的中點，
∴∠1=∠B=∠C，
∴∠1=∠2=∠C，
∴∠3=∠1+∠C=2=2∠2，
∵△ADE是等腰三角形，
當DE=DA時，則DE=DA=DC，此時點C與B點重合，不合題意舍去；
當AD=AD，則∠E=∠3=2∠2，
而∠E+∠3+∠2=180°，
∴2∠2+2∠2+∠2=180°，解得∠2=36°，
∴∠BAC=90°-∠1-∠2=90°-36°-36°=18°．

點評 本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．解決本題的關鍵是證明∠1=∠2=∠C．