Question

19．如圖，對(duì)稱軸為直線x=2的拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸相交于B，C兩點(diǎn)，其中B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），與y軸交于點(diǎn)A，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）
（1）求此拋物線的解析式．
（2）求點(diǎn)B到直線AC的距離．
（3）在此拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)P使得以點(diǎn)P，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用對(duì)稱軸以及B點(diǎn)坐標(biāo)得出C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用交點(diǎn)式得出拋物線解析式；
（2）利用勾股定理得出AC的長(zhǎng)，再利用三角形面積求法得出答案；
（3）分三種情況討論：①當(dāng)AP=AB時(shí)，②當(dāng)AP=BP時(shí)，③當(dāng)AB=BP時(shí)，分別求出答案．

解答 解：（1）由題意知，B，C關(guān)于對(duì)稱軸x=2對(duì)稱，B（1，0），
所以C（3，0），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）（x-3），
將A（0，3）代入得：
3a=3，
解得：a=1，
∴拋物線解析式為y=（x-1）（x-3）=x²-4x+3；

（2）如圖1所示，

過(guò)B點(diǎn)作BD⊥AC交AC于D點(diǎn)
在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{O{A}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{9+9}$=3$\sqrt{2}$，
∴S_△BCA=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$AC•BD，
=$\frac{1}{2}$×2×3，
=$\frac{1}{2}$AC•BD，
∴點(diǎn)B到直線AC的距離為$\sqrt{2}$；

（3）存在，拋物線的對(duì)稱軸是直線x=2，P點(diǎn)在直線x=2上，設(shè)P的坐標(biāo)（2，y）
∴AP²=2²+（y-3）²=4+y²-6y+9=y²-6y+13，
BP²=（2-1）²+（y-0）²=1+y²，
AB²=1²+3²+1+9=10，
∵△PBA是等腰三角形，分三種情況討論：
①如圖2所示，

當(dāng)AP=AB時(shí)，則AP²=AB²，
即y²-6y+13=10，
解得：y=3±$\sqrt{6}$，
∴P的坐標(biāo)為（2，3+$\sqrt{6}$）或（2，3-$\sqrt{6}$）；
②如圖3，

當(dāng)AP=BP時(shí)，則AP²=BP²，即y²-6y+13=1+y²
解得：y=2，
∴P的坐標(biāo)為（2，2）
③如圖4，

當(dāng)AB=BP時(shí)，則AB²=BP²，即10=1+y²
解得：y=±3，
∴P的坐標(biāo)為（2，3）或（2，-3），
當(dāng)P的坐標(biāo)為（2，-3）時(shí)，A，B，P在同一直線上，不符合題意，舍去．
∴綜上所述，符合題意的點(diǎn)P有4個(gè)：P₁（2，3+$\sqrt{6}$），P₂（2，3-$\sqrt{6}$），P₃（2，2），P₄（2，3）

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及勾股定理、交點(diǎn)式、三角形面積求法等知識(shí)，正確分類討論得出P點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．