Question

6．如圖①，在平面直角坐標系xoy的第一象限中，有一個Rt△OAB，∠B=90°，OB=3，AB=4，點A在正半軸上，⊙I是Rt△OAB的內切圓．
①求點B的坐標．
②求內心I的坐標．
③將⊙I平移，使內心I與點B重合，如圖②，點P是x軸正半軸上一點，是否存在⊙P同時與y軸、⊙B相切？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 ①如圖①，過點B作BC⊥OA于C，在Rt△OAB中，根據勾股定理可得OA=5，根據三角形面積公式可得BC=2.4，在Rt△OBC中，根據勾股定理可得OC，從而得到B（1.8，2.4）；
②如圖①b，設切點分別為D、E、F，連接ID、IE、IF，根據切線的性質可得四邊形BEIF是正方形，設ID=x，則BE=BF=x，列出方程（3-x）+（4-x）=5，解得x，進一步得到I的坐標為（2，1）；
③如圖②，設OP=x，分兩種情況：（1）如圖②a，當x為半徑的⊙P與⊙B相外切時；（2）如圖②b，當x為半徑的⊙P與⊙B相內切時；進行討論即可求解．

解答 ①解：如圖①，過點B作BC⊥OA于C，
∵Rt△OAB，∠B=90°，OB=3，AB=4，
∴OA=5，
∵S_△OAB=$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5×BC$，
∴BC=2.4，
Rt△OBC中，OC=$\sqrt{{3^2}-{{2.4}^2}}$=1.8，
∴B（1.8，2.4）；

②解：如圖①b，設切點分別為D、E、F，連接ID、IE、IF，
則ID=IE=IF，BE=BF，OD=OE，AD=AF，且四邊形BEIF是正方形，
設ID=x，則BE=BF=x，
∴OD=OE=3-x，AD=AF=4-x，
∵（3-x）+（4-x）=5，
∴x=1，
∴OD=3-1=2，
∴I（2，1）；

③如圖②，設OP=x，
∵OP⊥y軸，
∴以x為半徑的⊙P與y軸相切；
（1）如圖②a，當x為半徑的⊙P與⊙B相外切時，有PB=x+1，
作BC⊥OA于C，則BC=2.4，PC=1.8-x，
2.4²+（1.8-x）²=（x+1）²，
解得：$x=\frac{10}{7}$，
∴P（$\frac{10}{7}$，0）；
（2）如圖②b，當x為半徑的⊙P與⊙B相內切時，
∵AB+1=4+1=5=OA，
∴P與A點重合，
∴P（5.0）．
綜上所述，P點的坐標是（$\frac{10}{7}$，0）或（5.0）．

點評 本題考查了圓的綜合題：熟練運用圓的切線性質和切線長定理進行幾何證明；會運用勾股定理進行幾何計算；同時考查了方程思想和分類思想的應用，綜合性較強，難度較大．