Question

13．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，∠ADB=∠CBD，AD=BC．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）若AC=10，BD=24，AB=13，四邊形ABCD是菱形嗎？證明你的判斷．

Answer 1

分析 （1）由內(nèi)錯角相等，得出AD∥BC，再由AD=BC，即可得出結論；
（2）由平行四邊形的性質(zhì)得出OA=$\frac{1}{2}$AC=5，OB=$\frac{1}{2}$BD=12，由OA²+OB²=AB²證出△AOB是直角三角形，得出AC⊥BD，即可得出結論．

解答 （1）證明：∵∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC，
又∵AD=BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）解：四邊形ABCD是菱形；理由如下：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=5，OB=$\frac{1}{2}$BD=12，
∵5²+12²=13²，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△AOB是直角三角形，
∴∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴平行四邊形ABCD是菱形．

點評 本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、勾股定理的逆定理、菱形的判定；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關鍵．