Question

1．如圖，已知⊙A過原點O且與x軸交于點C（6，0），與y軸交于點B（0，8），直線y=kx（k＞0）與⊙A交于另一點P，連接線段PC．
（1）線段OP長度的最大值為10，tan∠OPC=$\frac{3}{4}$；
（2）當(dāng)k=1時，求點P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)過點O，C的拋物線y=ax（x-6）的頂點為Q，問是否同時存在a，k的值，使得以O(shè)，C，Q為頂點的三角形與△OCP相似？若存在，求出a，k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先作AD⊥y軸于點D，作AE⊥x軸于點E，求出⊙A的半徑是多少；然后根據(jù)當(dāng)線段OP為圓的直徑時，求出線段OP長度的最大值為多少，進(jìn)而求出tan∠OPC的值是多少即可．
（2）首先作PN⊥x軸于N，CM⊥OP于M，在Rt△OMC中，求出OM的值是多少；然后在Rt△PMC中，tan∠OPC=$\frac{OM}{MP}=\frac{3}{4}$，求出MP、OP的值各是多少，進(jìn)而求出點P的坐標(biāo)是多少即可．
（3）根據(jù)題意，分三種情況：①當(dāng)△OPC∽△QOC時；②當(dāng)△COP∽△QOC時；③當(dāng)△POC∽△QOC時；然后分類討論，根據(jù)以O(shè)，C，Q為頂點的三角形與△OCP相似，求出a，k的值是多少即可．

解答 解：（1）如圖1，作AD⊥y軸于點D，作AE⊥x軸于點E，
∵AD=$\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×6=3$，AE=$\frac{1}{2}OB=\frac{1}{2}×8=4$，
∴⊙A的半徑r=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}=5$，
∴當(dāng)線段OP為圓的直徑時，
線段OP長度的最大值為：2r=2×5=10，
此時tan∠OPC=$\frac{OC}{PC}=\frac{6}{\sqrt{{10}^{2}{-6}^{2}}}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$．

（2）如圖2，作PN⊥x軸于N，CM⊥OP于M，
當(dāng)k=1時，
在Rt△OMC中，∠MOC=45゜，OC=6，
∴OM=MC=$3\sqrt{2}$，
在Rt△PMC中，tan∠OPC=$\frac{OM}{MP}=\frac{3}{4}$，
∴MP=$4\sqrt{2}$，
∴OP=$3\sqrt{2}$+$4\sqrt{2}$=$7\sqrt{2}$，
在Rt△PMC中，PN=ON=7，
∴點P的坐標(biāo)是（7，7）．

（3）∵拋物線y=ax（x-6）=a（x-3﹚²-9a，
∴Q點的坐標(biāo)為：（3，-9a），且QO=QA；
假設(shè)同時存在a，k的值，使得以O(shè)，C，Q為頂點的三角形與△OCP相似，
①當(dāng)△OPC∽△QOC時，
此時k＜0，不符合題意；

②如圖3，當(dāng)△COP∽△QOC時，作PM⊥x軸于點M，作QN⊥x軸于點N，
∵$\frac{CO}{QO}=\frac{CP}{QC}$，
∴$\frac{CO}{CP}=\frac{QO}{QC}=1$，
∴∠POC=∠P，∠QOC=∠POC=∠P；
則ON=$\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}×6=3$，
則$\frac{QN}{ON}=tan∠QOC=tan∠OPC$=$\frac{3}{4}$，
∴QN=ON×$\frac{3}{4}=\frac{9}{4}$，
∴|-9a|=$\frac{9}{4}$，
解得a=$\frac{1}{4}$或a=-$\frac{1}{4}$，
此時k=$\frac{PM}{OM}$=tan∠POC=tan∠OPC=$\frac{3}{4}$．

③如圖4，當(dāng)△POC∽△QOC時，作PM⊥x軸于M，
Q與P重合或關(guān)于x軸對稱，
∵以B（0，8），C（6，0）為為端點的線段是圓A的直徑，
∴A點的坐標(biāo)是（3，4），
∴OM=3，PM=AM+AP=4+5=9，k=$\frac{PM}{0M}$=3，
此時，|-9a|=9，
解得a=1或a=-1．
綜上，可得
同時存在a，k的值，使得以O(shè)，C，Q為頂點的三角形與△OCP相似，
當(dāng)k=$\frac{3}{4}$時，a=$\frac{1}{12}$或a=-$\frac{1}{12}$；當(dāng)k=3時，a=1或a=-1．
故答案為：10；$\frac{3}{4}$．

點評 （1）此題主要考查了圓的綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
（2）此題還考查了相似三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①三邊法：三組對應(yīng)邊的比相等的兩個三角形相似；②兩邊及其夾角法：兩組對應(yīng)邊的比相等且夾角對應(yīng)相等的兩個三角形相似；③兩角法：有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似．