Question

18．如圖，一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的圖象交于A（m，6），B（3，n）兩點．
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象直接寫出使kx+b$＜\frac{6}{x}$成立的x的取值范圍；
（3）求△ABO的面積．

Answer 1

分析 （1）先把A、B點坐標代入y=$\frac{6}{x}$求出m、n的值；然后將其分別代入一次函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組，通過解方程組求得它們的值即可；
（2）根據(jù)該不等式的解集即為直線在雙曲線下方時x的范圍即可寫出答案；
（3）分別過點A、B作AE⊥x軸，BC⊥x軸，垂足分別是E、C點．直線AB交x軸于D點．S_△AOB=S_△AOD-S_△BOD，由三角形的面積公式可以直接求得結(jié)果．

解答 解：（1）∵點A（m，6），B（3，n）兩點在反比例函數(shù)y=$\frac{6}{x}$（x＞0）的圖象上，
∴6m=3n=6，
∴m=1，n=2，
∴A（1，6），B（3，2）．
又∵點A（m，6），B（3，n）兩點在一次函數(shù)y=kx+b的圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6=k+b}\\{2=3k+b}\end{array}\right.$．
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2\\;}\\{b=8}\end{array}\right.$，
則該一次函數(shù)的解析式為：y=-2x+8；

（2）根據(jù)圖象可知使kx+b＜$\frac{6}{x}$成立的x的取值范圍是0＜x＜1或x＞3；

（3）如圖，分別過點A、B作AE⊥x軸，BC⊥x軸，垂足分別是E、C點．直線AB交x軸于D點．
令-2x+8=0，得x=4，即D（4，0）．
∵A（1，6），B（3，2），
∴AE=6，BC=2，
∴S_△AOB=S_△AOD-S_△BOD=$\frac{1}{2}$×4×6-$\frac{1}{2}$×4×2=8．

點評 本題主要考查雙曲線與直線的交點問題，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和數(shù)形結(jié)合思想的運用是解題的關(guān)鍵．