Question

6．如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，4）．
（1）求該拋物線的表達(dá)式．
（2）求B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）連接AD、AC、CD、BC，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得以M、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）²+4，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可求得a的值，從而可得到拋物線的解析式；（2）將x=0代入求得對(duì)應(yīng)的y值可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將y=0代入可求得對(duì)應(yīng)的x的值可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（3）由點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)可求得，DC、AC、AD、BC的長(zhǎng)，從而可得到∠DCA=90°，然后分為∠CMB=90°和∠CBM=90°兩種情況求解即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）²+4．
將點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=-1．
所以拋物線的表達(dá)式為y=-（x+1）²+4，y=-x²-2x+3．
（2）將x=0代入得：y=3，
∴C（0，3）．
令y=0得：-x²-2x+3=0，解得：x=-3或x=1，
∴B（-1，0）．
（3）∵A（3，0），C（0，3），D（-1，4），
∴DC=$\sqrt{2}$，AC=3$\sqrt{2}$，AD=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{10}$，
∴∠DCA=90°．
當(dāng)∠CMB=90°時(shí)，點(diǎn)O與點(diǎn)M重合，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0）．
當(dāng)∠CBM=90°時(shí)，$\frac{CB}{CM}$=$\frac{AC}{AD}$，即$\frac{\sqrt{10}}{CM}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}$，解得：CM=$\frac{10}{3}$．
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，-$\frac{1}{3}$）．
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，0）或（0，-$\frac{1}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，勾股定理的逆定理、相似三角形的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．