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12．三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直　 推理模式： ．

注意：⑴三垂線指PA，PO，AO都垂直α內(nèi)的直線a 其實(shí)質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理 ⑵要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用

基本題型：

10．直線和平面所成角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角一直線垂直于平面，所成的角是直角

一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0°角。直線和平面所成角范圍： [0，]

(2)定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過(guò)斜足的直線所成的一切角中最小的角

11 三垂線定理 　在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直

說(shuō)明：(1)定理的實(shí)質(zhì)是判定平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的垂直關(guān)系；

(2)推理模式：

9．射影長(zhǎng)相等定理:從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線中⑴射影相交兩條斜線相交；射影較長(zhǎng)的斜線段也較長(zhǎng)⑵相等的斜線段射影相等，較長(zhǎng)的斜線段射影較長(zhǎng)；⑶垂線段比任何一條斜線段都短

7．平面幾何中，點(diǎn)、線段在直線上射影的概念及性質(zhì)：

8 斜線,垂線,射影

⑴垂線　 自一點(diǎn)向平面引垂線,垂足叫這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影. 這個(gè)點(diǎn)和垂足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段.

⑵斜線　 一條直線和一個(gè)平面相交,但不和這個(gè)平面垂直,這條直線叫做這個(gè)平面的斜線斜線和平面的交點(diǎn)叫斜足；斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段

⑶射影 過(guò)斜線上斜足外的一點(diǎn)向平面引垂線,過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂足和斜足間線段叫這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段在這個(gè)平面內(nèi)的射影

直線與平面平行，直線在平面由射影是一條直線直線與平面垂直射影是點(diǎn)斜線任一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影一定在斜線的射影上

17．　 正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，球O是內(nèi)切球，球O₁是與正四面體的三個(gè)面和球O都相切的一個(gè)小球，求球O₁的體積．

16．表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個(gè)正四棱柱的表面積

14.正方體全面積是，它的外接球的體積是　　　 ，內(nèi)切球的體積是　　　 ．

15?球O₁、O₂分別與正方體的各面、各條棱相切，正方體的各頂點(diǎn)都在球O₃的表面上，求三個(gè)球的表面積之比．

13.把半徑分別為3，4，5的三個(gè)鐵球，熔成一個(gè)大球，則大球半徑是　　　 ；

12.若球的大圓面積擴(kuò)大為原來(lái)的倍，則球的體積比原來(lái)增加　　　 倍；

11．三個(gè)球的半徑之比為，那么最大的球的體積是其余兩個(gè)球的體積和的　　　 倍；