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20.(16分)如圖所示，有兩條相交成60°角的直路XX′

和YY′，交點(diǎn)是O，甲、乙分別在OX、OY上，起初

甲離O點(diǎn)3 km，乙離O點(diǎn)1 km，后來兩人同時(shí)用每小

時(shí)4 km的速度，甲沿XX′方向，乙沿Y′Y的方向步行.

(1)起初，兩人的距離是多少？

(2)用t表示t小時(shí)后兩人的距離；

(3)什么時(shí)候兩人的距離最短？

解　 (1)設(shè)甲、乙兩人起初的位置是A、B，則由余弦定理：

|AB|²=|OA|²+|OB|²-2|OA|·|OB|·cos60°

=3²+1²-2×3×1×=7,∴|AB|=.

所以甲、乙兩人起初的距離是km.

(2)設(shè)甲、乙兩人t小時(shí)后的位置分別是P、Q，

則|AP|=4t，|BQ|=4t，

當(dāng)0≤t≤時(shí)，由余弦定理

|PQ|²=(3-4t)²+(1+4t)²-2(3-4t)(1+4t)·cos60°，

當(dāng)t＞時(shí)，

|PQ|²=(4t-3)²+(1+4t)²-2(4t-3)(1+4t)cos120°.

注意到上面兩式實(shí)際上是統(tǒng)一的，

所以|PQ|²=(16t²-24t+9)+(16t²+8t+1)+(16t²-8t-3)=48t²-24t+7，

即|PQ|=.

(3)∵|PQ|=，

∴當(dāng)t=時(shí)，|PQ|的最小值是2.

即在第15分鐘末，兩人的距離最短.

19.(2008·湖南理，19)(16分)在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi),以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東45°且與點(diǎn)A相距40海里的位置B,經(jīng)過40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東45°+( 其中sin=,0°＜＜90°)且與點(diǎn)A相距10海里的位

置C.

(1)求該船的行駛速度(單位:海里/小時(shí));

(2)若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛,判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域,并說明理由.

解　 (1)如圖(1)所示，AB=40，

AC=10，∠BAC=，sin=.

由于0°＜＜90°,

由余弦定理得

BC=.

所以船的行駛速度為==15(海里/小時(shí)).

(2)方法一　 如圖(2)所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B(x₁，y₁)、C(x₂，y₂)，BC與x軸的交點(diǎn)為D.

由題設(shè)有，

x₁=y₁=AB=40,

x₂=ACcos∠CAD

=10cos(45°-)=30,

y₂=ACsin∠CAD

=10sin(45°-)=20.

所以過點(diǎn)B、C的直線l的斜率

k==2,

直線l的方程為y=2x-40.

又點(diǎn)E(0，-55)到直線l的距離

d==3＜7,

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

方法二　 如圖(3)所示，設(shè)直線AE

與BC的延長線相交于點(diǎn)Q.

在△ABC中，由余弦定理得

cos∠ABC=

=

=.

從而sin∠ABC=

==.

在△ABQ中,由正弦定理得

AQ==40.

由于AE=55＞40=AQ,所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間,且QE=AE-AQ=15.

過點(diǎn)E作EP⊥BC于點(diǎn)P,則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.

在Rt△QPE中,PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC

=QE·sin(45°-∠ABC)=15×=3＜7.

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.

18.(2008·重慶理，17)(16分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A=60°,c=3b.求:

(1)的值;

(2)的值.

解　 (1)由余弦定理得

a²=b²+c²-2bccosA

=+c²-2·c·c·=c²，

故=.

(2)方法一　 =

==,

由正弦定理和(1)的結(jié)論得

=· =·==.

故=.

方法二　 由余弦定理及(1)的結(jié)論有

cosB===，

故sinB===.

同理可得

cosC===-，

sinC===.

從而=+

=-=.

17.(2009·海安高級(jí)中學(xué)測(cè)試題)(14分)在△ABC中，設(shè)A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，向量m=(cosA,sinA),

n=(-sinA,cosA),若|m+n|=2.

(1)求角A的大小；

(2)若b=4,且c=a，求△ABC的面積.

解　 (1)m+n=(+cosA-sinA,cosA+sinA)

|m+n|²=(+cosA-sinA)²+(cosA+sinA)²

=2+2(cosA-sinA)+(cosA-sinA)²+(cosA+sinA)²

=2+2(cosA-sinA)+2

=4-4sin(A-)

∵|m+n|=2,∴4-4sin(A-)=4,sin(A-)=0.

又∵0＜A＜,∴-＜A-＜,∴A-=0,

∴A=.

(2)由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA,

又b=4,c=a,A=，

得a²=32+2a²-2×4×a·,

即a²-8a+32=0,解得a=4，∴c=8.

∴S_△ABC=b·csinA=×4×8×sin=16.

S_△ABC=×(4)²=16.

16.(2008·合肥模擬)(14分)已知向量a=(cosx,sinx),|b|=1,且a與b滿足|ka+b|=|a-kb| (k＞0).

(1)試用k表示a·b，并求a·b的最小值；

(2)若0≤x≤,b=,求a·b的最大值及相應(yīng)的x值.

解(1)∵|a|=1，|b|=1，

由|ka+b|=|a-kb|,

得(ka+b)²=3(a-kb)²,

整理得a·b==≥,

當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)，a·b取最小值.

(2)由a·b=cosx+sinx=sin(x+).

∵0≤x≤，∴≤x+≤，

∴-≤sin(x+)≤1.

當(dāng)x=時(shí)，a·b取最大值為1.

15.(14分)設(shè)a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2),

(1)求證a與b不共線，并求a與b的夾角的余弦值；

(2)求c在a方向上的投影；

(3)求₁和₂，使c=₁a+₂b.

(1)證明　 ∵a=(-1,1),b=(4,3),-1×3≠1×4,

∴a與b不共線，設(shè)a與b的夾角為,

cos===-.

(2)解　 設(shè)a與c的夾角為,

cos===-，

∴c在a方向上的投影為

|c|cos=-.

(3)解　 ∵c=₁a+₂b,∴，

解得₁=-,₂=.