1．能畫出y=sin x, y=cos x, y=tan x的圖像，了解三角函數(shù)的周期性；
4．運(yùn)用同角三角函數(shù)關(guān)系式化簡(jiǎn)、證明
常用的變形措施有：大角化小，切割化弦等，應(yīng)用
“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一個(gè)不為零的
，得到一個(gè)只含
的教簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式。
3．任意角的概念的意義，任意角的三角函數(shù)的定義，同角間的三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式
由于本重點(diǎn)是任意角的三角函數(shù)角的基礎(chǔ)，因而三學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)要注意如下幾點(diǎn)：(1)熟練地掌握常用的方法與技巧，在使用三角代換求解有關(guān)問題時(shí)要注意有關(guān)范圍的限制；(2)要注意差異分析，又要活用公式，要善于瞄準(zhǔn)解題目標(biāo)進(jìn)行有效的變形，其解題一般思維模式為：發(fā)現(xiàn)差異，尋找聯(lián)系，合理轉(zhuǎn)化。
只有這樣才能在高考中奪得高分。三角函數(shù)的值與點(diǎn)
在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān).我們只需計(jì)算點(diǎn)到原點(diǎn)的距離
,那么
,
,
。所以，三角函數(shù)是以為自變量,以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，又因?yàn)榻堑募吓c實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，故三角函數(shù)也可以看成實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)。
2．α、
、2α之間的關(guān)系。
若α終邊在第一象限則終邊在第一或第三象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。
若α終邊在第二象限則終邊在第一或第三象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。
若α終邊在第三象限則終邊在第二或第四象限；2α終邊在第一或第二象限或y軸正半軸。
若α終邊在第四象限則終邊在第二或第四象限；2α終邊在第三或第四象限或y軸負(fù)半軸。
1．幾種終邊在特殊位置時(shí)對(duì)應(yīng)角的集合為：
|
角的終邊所在位置 |
角的集合 |
|
X軸正半軸 |
 |
|
Y軸正半軸 |
 |
|
X軸負(fù)半軸 |
 |
|
Y軸負(fù)半軸 |
 |
|
X軸 |
 |
|
Y軸 |
 |
|
坐標(biāo)軸 |
 |
題型1：象限角
例1．已知角
；(1)在區(qū)間
內(nèi)找出所有與角
有相同終邊的角
；(2)集合
，
那么兩集合的關(guān)系是什么？
解析：(1)所有與角有相同終邊的角可表示為：
，
則令 
，
得 
解得 
從而
或
代回
或
(2)因?yàn)?sub>
表示的是終邊落在四個(gè)象限的平分線上的角的集合；而集合
表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線上的角的集合，從而：
。
點(diǎn)評(píng)：(1)從終邊相同的角的表示入手分析問題，先表示出所有與角有相同終邊的角，然后列出一個(gè)關(guān)于
的不等式，找出相應(yīng)的整數(shù)，代回求出所求解；(2)可對(duì)整數(shù)的奇、偶數(shù)情況展開討論。
例2．(2001全國(guó)理，1)若sinθcosθ＞0，則θ在( )
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限
解析：答案：B；∵sinθcosθ＞0，∴sinθ、cosθ同號(hào)。
當(dāng)sinθ＞0，cosθ＞0時(shí)，θ在第一象限，當(dāng)sinθ＜0，cosθ＜0時(shí)，θ在第三象限，因此，選B。
例3．(2001春季北京、安徽，8)若A、B是銳角△ABC的兩個(gè)內(nèi)角，則點(diǎn)P(cosB－sinA，sinB－cosA)在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
答案：B
解析：∵A、B是銳角三角形的兩個(gè)內(nèi)角，∴A+B＞90°，∴B＞90°－A，∴cosB＜sinA，sinB＞cosA，故選B。
例4．已知“
是第三象限角，則
是第幾象限角?
解法一：因?yàn)?sub>是第三象限角，所以
，
∴
，
∴當(dāng)k=3m(m∈Z)時(shí)，為第一象限角；
當(dāng)k= 3m+1(m∈Z)時(shí)，為第三象限角，
當(dāng)k= 3m+2(m∈Z)時(shí)，為第四象限角，
故為第一、三、四象限角。
解法二：把各象限均分3等份，再從x軸的正向的上方起依次將各區(qū)域標(biāo)上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循環(huán)一周，則原來是第Ⅲ象限的符號(hào)所表示的區(qū)域即為
的終邊所在的區(qū)域。
由圖可知，是第一、三、四象限角。
點(diǎn)評(píng)：已知角的范圍或所在的象限，求
所在的象限是常考題之一，一般解法有直接法和幾何法，其中幾何法具體操作如下：把各象限均分n等份，再從x軸的正向的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循環(huán)一周，則原來是第幾象限的符號(hào)所表示的區(qū)域即為 (n∈N*)的終邊所在的區(qū)域。
題型2：三角函數(shù)定義
例5．已知角的終邊過點(diǎn)
，求的四個(gè)三角函數(shù)值。
解析：因?yàn)檫^點(diǎn)，所以
，
。
當(dāng)
；
，
。
當(dāng)
，
；。
例6．已知角的終邊上一點(diǎn)
，且
，求
的值。
解析：由題設(shè)知
，
，所以
，
得
，
從而
，
解得
或
。
當(dāng)時(shí)，
， 
；
當(dāng)
時(shí)，
， 
；
當(dāng)
時(shí)，， 
。
題型3：誘導(dǎo)公式
例7．(2001全國(guó)文，1)tan300°+
的值是( )
A．1+
B．1－ C．－1－ D．－1+
解析：答案：B tan300°+＝tan(360°－60°)+
＝－tan60°+
＝1－。
例8．化簡(jiǎn)：
(1)
；
(2)
。
解析：(1)原式
；
(2)①當(dāng)
時(shí)，原式
。
②當(dāng)
時(shí)，原式
。
點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵抓住題中的整數(shù)
是表示
的整數(shù)倍與公式一中的整數(shù)有區(qū)別，所以必須把分成奇數(shù)和偶數(shù)兩種類型，分別加以討論。
題型4：同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式
例9．已知
，試確定使等式成立的角的集合。
解析：∵
，
=
=
=
。
又∵，
∴
，
即得
或
所以，角的集合為：
或
。
例10．(1)證明：
；
(2)求證：
。
解析：(1)分析：證明此恒等式可采取常用方法，也可以運(yùn)用分析法，即要證
，只要證A·D=B·C,從而將分式化為整式
證法一：右邊=
=
=
證法二：要證等式，即為
只要證 2(
)(
)=
即證：
，
即1=
，顯然成立，
故原式得證。
點(diǎn)評(píng)：在進(jìn)行三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和三角恒等式的證明時(shí)，需要仔細(xì)觀察題目的特征，靈活、恰當(dāng)?shù)剡x擇公式，利用倒數(shù)關(guān)系比常規(guī)的“化切為弦”要簡(jiǎn)潔得多。(2)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式有三種，即平方關(guān)系、商的關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系。
(2)證法一：由題義知
，所以
。
∴左邊=
右邊。
∴原式成立。
證法二：由題義知，所以。
又∵
，
∴。
證法三：由題義知，所以。
，
∴。
點(diǎn)評(píng)：證明恒等式的過程就是分析、轉(zhuǎn)化、消去等式兩邊差異來促成統(tǒng)一的過程，證明時(shí)常用的方法有：(1)從一邊開始，證明它等于另一邊(如例5的證法一)；(2)證明左右兩邊同等于同一個(gè)式子(如例6)；(3)證明與原式等價(jià)的另一個(gè)式子成立，從而推出原式成立。
7．誘導(dǎo)公式
可用十個(gè)字概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”。
誘導(dǎo)公式一：
，
，其中
誘導(dǎo)公式二： 
； 
誘導(dǎo)公式三： 
； 
誘導(dǎo)公式四：
； 
誘導(dǎo)公式五：
； 
|
|
－ |
 |
 |
 |
 |
 |
|
sin |
－sin |
sin |
－sin |
－sin |
sin |
cos |
|
cos |
cos |
－cos |
－cos |
cos |
cos |
sin |
(1)要化的角的形式為
(為常整數(shù))；
(2)記憶方法：“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”；
(3)sin(kπ+α)=(－1)ksinα；cos(kπ+α)=(－1)kcosα(k∈Z)；
(4)
；
。
6．同角三角函數(shù)關(guān)系式
使用這組公式進(jìn)行變形時(shí)，經(jīng)常把“切”、“割”用“弦”表示，即化弦法，這是三角變換非常重要的方法。
幾個(gè)常用關(guān)系式：sinα+cosα，sinα-cosα，sinα·cosα；(三式之間可以互相表示)
同理可以由sinα－cosα或sinα·cosα推出其余兩式。
②
． ③當(dāng)
時(shí)，有
。
5．三角函數(shù)線
三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的各種三角函數(shù)值的一種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題時(shí)，十分方便。
以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度1為半徑畫一個(gè)圓，這個(gè)圓就叫做單位圓(注意：這個(gè)單位長(zhǎng)度不一定就是1厘米或1米)。當(dāng)角為第一象限角時(shí)，則其終邊與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn)
，過點(diǎn)作
軸交
軸于點(diǎn)
，根據(jù)三角函數(shù)的定義：
；
。
我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí),以
為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，規(guī)定：
當(dāng)線段
與軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎�，且有正�?sub>；當(dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣,無論那種情況都有
同理,當(dāng)角的終邊不在軸上時(shí),以為始點(diǎn)、為終點(diǎn)，
規(guī)定：當(dāng)線段
與
軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎�，且有正�?sub>；當(dāng)線段與軸反向時(shí)，的方向?yàn)樨?fù)向，且有正值；其中為點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
這樣,無論那種情況都有
。像
這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。
如上圖,過點(diǎn)
作單位圓的切線,這條切線必然平行于軸,設(shè)它與的終邊交于點(diǎn)
,請(qǐng)根據(jù)正切函數(shù)的定義與相似三角形的知識(shí),借助有向線段
,我們有
我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段
,分別叫做角的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱為三角函數(shù)線。
4．三角函數(shù)定義
在的終邊上任取一點(diǎn)
,它與原點(diǎn)的距離
.過作軸的垂線,垂足為,則線段的長(zhǎng)度為
,線段的長(zhǎng)度為
.則
；
；
。
利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn),那么:
(1)叫做的正弦,記做
,即
；
(2)叫做的余弦,記做,即
；
(3)
叫做的正切,記做,即
。
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