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2、擺鐘問題

單擺的一個重要應用就是利用單擺振動的等時性制成擺鐘。在計算擺鐘類的問題時，利用以下方法比較簡單：在一定時間內(nèi)，擺鐘走過的格子數(shù)n與頻率f成正比(n可以是分鐘數(shù)，也可以是秒數(shù)、小時數(shù)……)，再由頻率公式可以得到：

[例6]有一擺鐘的擺長為l_l時，在某一標準時間內(nèi)快amin。若擺長為l₂時，在同一標準時間內(nèi)慢bmin。，求為使其準確，擺長應為多長？(可把鐘擺視為擺角很小的單擺)。

[解析]設(shè)該標準時間為ts，準確擺鐘擺長為lm，走時快的鐘周期為T₁s，走慢時的周期為T₂s，準確的鐘周期為T₃。不管走時準確與否，鐘擺每完成一次全振動，鐘面上顯示時間都是Ts。

(法一)由各擺鐘在ts內(nèi)鐘面上顯示的時間求解，　

　　　對快鐘： t+60a=T；　　　對慢鐘： t- 60a=T

　　聯(lián)立解，可得==　　　最后可得L=。

(法二)由各擺鐘在ts內(nèi)的振動次數(shù)關(guān)系求解：

設(shè)快鐘的 t s內(nèi)全振動次數(shù)為 n_l，慢鐘為 n₂，準確的鐘為n。顯然，快鐘比準確的鐘多振動了60a/T次，慢鐘比準確的鐘少振動60b/T次，故：

　　對快鐘：n_l＝t/T₁＝n+60a/T＝t/T+60a/T

　　對慢鐘：n₂＝t/T₂＝n－60b/T＝t/T－60b/T

　　聯(lián)解①②式，并利用單擺周期公式T＝2同樣可得L=

點竅：對走時不準的擺鐘問題，解題時應抓住：由于擺鐘的機械構(gòu)造所決定，鐘擺每完成一次全振動，擺鐘所顯示的時間為一定值，也就是走時準確的擺鐘的周期T。

試題詳情

5.共振

(1)當驅(qū)動力的頻率等于振動系統(tǒng)的固有頻率時，物體的振幅最大的現(xiàn)象叫做共振．

　(2)條件：驅(qū)動力的頻率等于振動系統(tǒng)的固有頻率．

(3)共振曲線．如圖所示．

[例3]行駛著的火車車輪，每接觸到兩根鋼軌相接處的縫隙時，就受到一次撞擊使車廂在支著它的彈簧上面振動起來．已知車廂的固有同期是0．58s，每根鋼軌的長是12．6 m，當車廂上、下振動得最厲害時，火車的車速等于　　　　　　　 m／s．

　　解析：該題應用共振的條件來求解．火車行駛時，每當通過鐵軌的接縫處就會受到一次沖擊力，該力即為策動力．當策動周期T_策和彈簧與車廂的國有周期相等時，即發(fā)生共振，即　　 T_策＝T_固＝ 0．58 s ………①　 T_策=t=L/v……②　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　將①代入②解得v=L/0．58=21．7 m／s　　答案：21．7m／s

規(guī)律方法1、單擺的等效問題

①等效擺長：如圖所示，當小球垂直紙面方向運動時，擺長為CO．

②等效重力加速度：當單擺在某裝置內(nèi)向上運動加速度為a時，T＝2π；當向上減速時T=2π，影響回復力的等效加速度可以這樣求，擺球在平衡位置靜止時，擺線的張力T與擺球質(zhì)量的比值．

[例4]如圖所示，在光滑導軌上有一個滾輪A，質(zhì)量為2m，軸上系一根長為L的線，下端懸掛一個擺球B，質(zhì)量為m，設(shè)B擺小球作小幅度振動，求振動周期。

[分析]將2m的A球和m的B球組成系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)的重心O點可視為單擺的懸點，利用水平方向動量守恒可求出等效擺長。

[解析]A和B兩物體組成的系統(tǒng)由于內(nèi)力的作用，在水平方向上動量守恒，因此A和B速度之比跟質(zhì)量成反比，即v_A/v_B=m_B/m_A=1/2．因此A和B 運動過程中平均速度/=1/2，亦即位移 S_A/S_B＝1/2。，

因為ΔOAA^/∽ΔOBB^/，則OB/OA＝2/1。

對B球來說，其擺長應為2/3 L，因此B球的周期T＝2。

說明：據(jù)動量守恒條件，2m在A位置時，m在 B位置，當2 m運動到A^/時，m運動到B^/。

[例5]如圖所示，三根細線OA, OB,OC結(jié)于O點，A,B端固定在同一水平面上且相距為L，使AOB成一直角三角形，∠BAO = 30⁰，已知OC繩長也為L，下端C點系一個可視為質(zhì)點的小球，下面說法中正確的是

A、當小球在紙面內(nèi)做小角度振動時,周期為：

B.當小球在垂直紙面方向做小角度振動時，周期為

C.當小球在紙面內(nèi)做小角度振動時，周期為

D.當小球在垂直紙面內(nèi)做小角度振動時，周期為

解析:當小球在紙面內(nèi)做簡諧振動時，是以0點為圓心,OC長L為半徑做變速圓周運動，OA和OB繩沒有松弛，其擺長為L,所以周期是；當小球在垂直于紙面的方向上做簡諧振動時，擺球是以O(shè)C的延長線與AB交點為圓心做振動,其等效的擺長為L十Lsin60⁰/2=L十L/4 ,其周期為,故選A.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

拓展:若將上題中的小球改為裝滿沙子的漏斗，在漏斗擺動的過程中，讓沙子勻速的從漏斗底部漏出，則單擺的周期如何變化?(因沙子遂漸漏出，其重心的位置先下移后上升，等效擺長先增加后減小，所以周期先變長后減小)。

[例5]在圖中的幾個相同的單擺在不同的條件下，關(guān)于它們的周期關(guān)系，判斷正確的是(　 )

　　 A、T₁＞T₂＞T₃＞T₄；　 B、T₁＜T₂=T₃＜T₄

　　 C、T₁＞T₂=T₃＞T₄_、； _、 D、T₁＜T₂＜T₃＜T₄

[解析]單擺的周期與重力加速度有關(guān)．這是因為是重力的分力提供回復力．當單擺處于(1)圖所示的條件下，當擺球偏離平衡位置后，是重力平行斜面的分量(mgsinθ)沿切向分量提供回復力，回復力相對豎直放置的單擺是減小的，則運動中的加速度減小，回到平衡位置的時間變長，周期T₁＞T₃．對于(2)圖所示的條件，帶正電的擺球在振動過程中要受到天花板上帶正電小球的斥力，但是兩球間的斥力與運動的方向總是垂直，不影響回復力，故單擺的周期不變，T₂=T₃．在(4)圖所示的條件下，單擺與升降機一起作加速上升的運動，也就是擺球在該升降機中是超重的，相當于擺球的重力增大，沿擺動的切向分量也增大，也就是回復力在增大，擺球回到相對平衡的位置時間變短，故周期變小，T₄＜T₃．綜上所述，只有C選項正確．

　點評：對于單擺的周期公式，在擺長不變的條件下，能影響單擺振動的周期的因素就是運動過程中的回復力發(fā)生的變化，回復力增大，周期變小，回復力變小，周期變大．這是判斷在擺長不變時單擺周期變化的唯一

試題詳情

4.受迫振動

(1)振動系統(tǒng)在周期性驅(qū)動力作用下的振動叫做受迫振動．

(2)受迫振動穩(wěn)定時，系統(tǒng)振動的頻率等于驅(qū)動力的頻率，跟系統(tǒng)的固有頻率無關(guān)．