例1 已知函數(shù)
的圖象上的一點
及臨近一點
則
.
解: 
∴
例2 求
在
附近的平均變化率.
解: 
所以
所以在附近的平均變化率為
(二)平均變化率概念
1.上述問題中的變化率可用式子
表示,
稱為函數(shù)
從
到
的平均變化率.
2.
若設(shè)
, 
(這里
看作是對于的一個“增量”可用
代替,同樣
)
則平均變化率為
思考: 觀察函數(shù)的圖象
平均變化率
表示什么?
(一)問題提出
問題1 氣球膨脹率
我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學(xué)角度,如何描述這種現(xiàn)象呢?
氣球的體積
(單位:
)與半徑
(單位:
)之間的函數(shù)關(guān)系是
如果將半徑表示為體積的函數(shù),那么
分析:
(1)當(dāng)從
增加到
時,氣球半徑增加了
氣球的平均膨脹率為
(2)當(dāng)從增加到
時,氣球半徑增加了
氣球的平均膨脹率為
可以看出,隨著氣球體積逐漸增大,它的平均膨脹率逐漸變小了.
思考: 當(dāng)空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?
問題2 高臺跳水
在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度
(單位:
)與起跳后的時間
(單位:
)存在函數(shù)關(guān)系
.如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速
度粗略地描述其運動狀態(tài)?
思考計算: 
和
的平均速度
在這段時間里,
在這段時間里,
探究: 計算運動員在
這段時間里的平均速度,并思考以下問題:
(1)運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？
(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？
探究過程: 如圖是函數(shù)的圖像,
結(jié)合圖形可知,
,所以
雖然運動員在這段時間里的平均速度為
,
但實際情況是運動員仍然運動,并非靜止,
可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài).
導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大(小)值等問題最一般、最有效的工具.
導(dǎo)數(shù)研究的問題即變化率問題:研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度.
為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象,在數(shù)學(xué)中引入了函數(shù),隨著對函數(shù)的研究,產(chǎn)生了微積分,微積分的創(chuàng)立以自然科學(xué)中四類問題的處理直接相關(guān):
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