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(一)問題提出 問題1 氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢? 氣球的體積(單位:)與半徑(單位:)之間的函數(shù)關系是 如果將半徑表示為體積的函數(shù),那么 分析: (1)當從增加到時,氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為 (2)當從增加到時,氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為 可以看出,隨著氣球體積逐漸增大,它的平均膨脹率逐漸變小了. 思考: 當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少? 問題2 高臺跳水 在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度(單位:)與起跳后的時間(單位:)存在函數(shù)關系.如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)? 思考計算: 和的平均速度 在這段時間里, 在這段時間里, 探究: 計算運動員在這段時間里的平均速度,并思考以下問題: (1)運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎? (2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎? 探究過程: 如圖是函數(shù)的圖像, 結(jié)合圖形可知,,所以 雖然運動員在這段時間里的平均速度為, 但實際情況是運動員仍然運動,并非靜止, 可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài). 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

建立數(shù)學模型一般都要經(jīng)歷下列過程：從實際情境中提出問題，建立數(shù)學模型，通過計算或推導得到結(jié)果，結(jié)合實際情況進行檢驗.如果合乎實際，就得到可以應用的結(jié)果，否則重新審視問題的提出、建模、計算和推導得到結(jié)果的過程，直到得到合乎實際的結(jié)果為止.請設計一個流程圖表示這一過程.

 

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學習三角函數(shù)一章時，課堂上老師給出這樣一個結(jié)論：當時，有sinx＜x＜tanx恒成立，當老師把這個證明完成時，

(Ⅰ)學生甲提出問題：能否在不等式sinx＜x的左邊增加一個量，使不等號的方向得以改變？下面請同學們證明：若，則成立；

(Ⅱ)當學生甲的問題完成時，學生乙提問：對于不等式x＜tanx是否也有相似的結(jié)論？下面請同學們探討：若，是否存在實數(shù)m，使x＋mx3＞tanx恒成立？如果存在，求出m的一個值；如果不存在，請說明理由．

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（1）已知函數(shù)f（x）=ax-x（a＞1）．
①若f（3）＜0，試求a的取值范圍；
②寫出一組數(shù)a，x0（x0≠3，保留4位有效數(shù)字），使得f（x0）＜0成立；
（2）在曲線y=x-
2
x
上存在兩個不同點關于直線y=x對稱，求出其坐標；若曲線y=x+
p
x
（p≠0）上存在兩個不同點關于直線y=x對稱，求實數(shù)p的范圍；
（3）當0＜a＜1時，就函數(shù)y=ax與y=logax的圖象的交點情況提出你的問題，并取a=
1
16
及a=
2
2
加以研究．當0＜a＜1時，就函數(shù)y=ax與y=logax的圖象的交點情況提出你的問題，并加以解決．（說明：①函數(shù)f（x）=xlnx有如下性質(zhì)：在區(qū)間(0，
1
e
]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[
1
e
，1)上單調(diào)遞增．解題過程中可以利用；②將根據(jù)提出和解決問題的不同層次區(qū)別給分．）

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（2009•崇明縣二模）設橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個頂點坐標為A（0，-
2
），且其右焦點到直線y-x-2
2
=0的距離為3．
（1）求橢圓C的軌跡方程；
（2）若A、B是橢圓C上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸相交于點M，則稱弦AB是點M的一條“相關弦”，如果點M的坐標為M（
1
2
，0），求證點M的所有“相關弦”的中點在同一條直線上；
（3）根據(jù)解決問題（2）的經(jīng)驗與體會，請運用類比、推廣等思想方法，提出一個與“相關弦”有關的具有研究價值的結(jié)論，并加以解決．（本小題將根據(jù)所提出問題的層次性給予不同的分值）

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（2008•崇明縣一模）已知：函數(shù)fn（x）（n∈N*）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），其中f1(x)=x+1+
1
x
，并且當n＞1且n∈N*時，滿足fn(x)-fn-1(x)=xn+
1
xn
．
（1）求函數(shù)fn（x）（n∈N*）的解析式；
（2）當n=1，2，3時，分別研究函數(shù)fn（x）的單調(diào)性與值域；
（3）借助（2）的研究過程或研究結(jié)論，提出一個類似（2）的研究問題，并寫出問題的研究過程與研究結(jié)論．
【第（3）小題將根據(jù)你所提出問題的質(zhì)量，以及解決所提出問題的情況進行分層評分】

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