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　　 首先應(yīng)特別提醒注意的是，機(jī)械能守恒的條件絕不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飛來(lái)的子彈打入靜止在光滑水平面上的木塊內(nèi)的過(guò)程中，合外力的功及合外力都是零，但系統(tǒng)在克服內(nèi)部阻力做功，將部分機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，因而機(jī)械能的總量在減少．

(1)用做功來(lái)判斷：分析物體或物體受力情況(包括內(nèi)力和外力)，明確各力做功的情況，若對(duì)物體或系統(tǒng)只有重力或彈力做功，沒(méi)有其他力做功或其他力做功的代數(shù)和為零，則機(jī)械能守恒；

(2)用能量轉(zhuǎn)化來(lái)判定：若物體系中只有動(dòng)能和勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化而無(wú)機(jī)械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，則物體系機(jī)械能守恒．

(3)對(duì)一些繩子突然繃緊，物體間非彈性碰撞等除非題目的特別說(shuō)明，機(jī)械能必定不守恒，完全非彈性碰撞過(guò)程機(jī)械能不守恒

說(shuō)明：1．條件中的重力與彈力做功是指系統(tǒng)內(nèi)重力彈力做功．對(duì)于某個(gè)物體系統(tǒng)包括外力和內(nèi)力，只有重力或彈簧的彈力作功，其他力不做功或者其他力的功的代數(shù)和等于零，則該系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，也就是說(shuō)重力做功或彈力做功不能引起機(jī)械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，只能使系統(tǒng)內(nèi)的動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化．如圖5－50所示，光滑水平面上，A與L₁、L₂二彈簧相連，B與彈簧L₂相連，外力向左推B使L₁、L₂ 被壓縮，當(dāng)撤去外力后，A、L₂、B這個(gè)系統(tǒng)機(jī)械能不守恒，因?yàn)長(zhǎng)_I對(duì)A的彈力是這個(gè)系統(tǒng)外的彈力，所以A、L₂、B這個(gè)系統(tǒng)機(jī)械能不守恒．但對(duì)L_I、A、L₂、B這個(gè)系統(tǒng)機(jī)械能就守恒，因?yàn)榇藭r(shí)L₁對(duì)A的彈力做功屬系統(tǒng)內(nèi)部彈力做功．

　2．只有系統(tǒng)內(nèi)部重力彈力做功，其它力都不做功，這里其它力合外力不為零，只要不做功，機(jī)械能仍守恒，即對(duì)于物體系統(tǒng)只有動(dòng)能與勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，而無(wú)機(jī)械能與其他形式轉(zhuǎn)化(如系統(tǒng)無(wú)滑動(dòng)摩擦和介質(zhì)阻力，無(wú)電磁感應(yīng)過(guò)程等等)，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，如圖5－51所示光滑水平面上A與彈簧相連，當(dāng)彈簧被壓縮后撤去外力彈開的過(guò)程，B相對(duì)A沒(méi)有發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，A、B之間有相互作用的力，但對(duì)彈簧A、B物體組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒．

3．當(dāng)除了系統(tǒng)內(nèi)重力彈力以外的力做了功，但做功的代數(shù)和為零，但系統(tǒng)的機(jī)械能不一定守恒．如圖5-52所示，物體m在速度為v₀時(shí)受到外力F作用，經(jīng)時(shí)間t速度變?yōu)関_t．(v_t＞v₀)撤去外力，由于摩擦力的作用經(jīng)時(shí)間t^/速度大小又為v₀，這一過(guò)程中外力做功代數(shù)和為零，但是物體m的機(jī)械能不守恒。

[例2]對(duì)一個(gè)系統(tǒng)，下面說(shuō)法正確的是(　　 )

　　 A．受到合外力為零時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能守恒

　　 B．系統(tǒng)受到除重力彈力以外的力做功為零時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒

　　 C．只有系統(tǒng)內(nèi)部的重力彈力做功時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒

　　 D．除重力彈力以外的力只要對(duì)系統(tǒng)作用，則系統(tǒng)的機(jī)械能就不守恒

　　 解析：A，系統(tǒng)受到合外力為零時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒，但機(jī)械能就不一定守恒，　 　答案：C

[例3]如圖所示，在光滑的水平面上放一質(zhì)量為M＝96．4kg的木箱，用細(xì)繩跨過(guò)定滑輪O與一質(zhì)量為m=10kg的重物相連，已知木箱到定滑輪的繩長(zhǎng)AO＝8m，OA繩與水平方向成30⁰角，重物距地面高度h=3m，開始時(shí)讓它們處于靜止?fàn)顟B(tài)．不計(jì)繩的質(zhì)量及一切摩擦，g取10 m／s²，將重物無(wú)初速度釋放，當(dāng)它落地的瞬間木箱的速度多大？

解析：本題中重物m和水箱M動(dòng)能均來(lái)源于重物的重力勢(shì)能，只是m和M的速率不等．

根據(jù)題意，m，M和地球組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，選取水平面為零勢(shì)能面，有mgh＝½mv+½Mv

從題中可知，O距M之間的距離為　 h^/＝Oasin30⁰＝4 m

當(dāng)m落地瞬間，OA繩與水平方向夾角為α，則cosα==4/5

　而m的速度v_m等于v_M沿繩的分速度，如圖5-55所示，則有　 v_m＝v_Mcosα　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 所以，由式①一③得v_M=m/s　　 答案：m/ s

3．表達(dá)形式：E_K1+E_pl=E_k2+E_P2

(1)我們解題時(shí)往往選擇的是與題目所述條件或所求結(jié)果相關(guān)的某兩個(gè)狀態(tài)或某幾個(gè)狀態(tài)建立方程式．此表達(dá)式中E_P是相對(duì)的．建立方程時(shí)必須選擇合適的零勢(shì)能參考面．且每一狀態(tài)的E_P都應(yīng)是對(duì)同一參考面而言的．

(2)其他表達(dá)方式，ΔE_P=一ΔE_K，系統(tǒng)重力勢(shì)能的增量等于系統(tǒng)動(dòng)能的減少量．

(3)ΔE_a=一ΔE_b，將系統(tǒng)分為a、b兩部分，a部分機(jī)械能的增量等于另一部分b的機(jī)械能的減少量，

2.機(jī)械能守恒的條件

(1)對(duì)某一物體，若只有重力(或彈簧彈力)做功，其他力不做功(或其他力做功的代數(shù)和為零)，則該物體機(jī)械能守恒．

(2)對(duì)某一系統(tǒng)，物體間只有動(dòng)能和重力勢(shì)能及彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)和外界沒(méi)有發(fā)生機(jī)械能的傳遞，機(jī)械能也沒(méi)有轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌�形式的能，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒．

1、內(nèi)容：在只有重力(和彈簧的彈力)做功的情況下，物體的動(dòng)能和勢(shì)能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機(jī)械能的總量保持不變．

3、動(dòng)能和勢(shì)能(重力勢(shì)能與彈性勢(shì)能)統(tǒng)稱為機(jī)械能．

2．重力做功與重力勢(shì)能的關(guān)系：重力做功等于重力勢(shì)能的減少量W_G=ΔE_P減=E_P初一E_P末，克服重力做功等于重力勢(shì)能的增加量W_克=ΔE_P增=E_P末-E_P初

　　 特別應(yīng)注意：重力做功只能使重力勢(shì)能與動(dòng)能相互轉(zhuǎn)化，不能引起物體機(jī)械能的變化．

1．由物體間的相互作用和物體間的相對(duì)位置決定的能叫做勢(shì)能．如重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能、分子勢(shì)能、電勢(shì)能等．

(1)物體由于受到重力作用而具有重力勢(shì)能，表達(dá)式為 E_P=一mgh．式中h是物體到零重力勢(shì)能面的高度．

(2)重力勢(shì)能是物體與地球系統(tǒng)共有的．只有在零勢(shì)能參考面確定之后，物體的重力勢(shì)能才有確定的值，若物體在零勢(shì)能參考面上方高 h處其重力勢(shì)能為 E_P=一mgh，若物體在零勢(shì)能參考面下方低h處其重力勢(shì)能為 E_P=一mgh，“一”不表示方向，表示比零勢(shì)能參考面的勢(shì)能小，顯然零勢(shì)能參考面選擇的不同，同一物體在同一位置的重力勢(shì)能的多少也就不同，所以重力勢(shì)能是相對(duì)的．通常在不明確指出的情況下，都是以地面為零勢(shì)面的．但應(yīng)特別注意的是，當(dāng)物體的位置改變時(shí)，其重力勢(shì)能的變化量與零勢(shì)面如何選取無(wú)關(guān)．在實(shí)際問(wèn)題中我們更會(huì)關(guān)心的是重力勢(shì)能的變化量．

[例1]如圖所示，桌面高地面高H，小球自離桌面高h(yuǎn)處由靜止落下，不計(jì)空氣阻力，則小球觸地的瞬間機(jī)械能為(設(shè)桌面為零勢(shì)面)(　　　 )

　　 A．mgh； B．mgH；C．mg(H+h)； D．mg(H－h(huán))

解析：這一過(guò)程機(jī)械能守恒，以桌面為零勢(shì)面，E_初=mgh，所以著地時(shí)也為mgh，有的學(xué)生對(duì)此接受不了，可以這樣想，E_初=mgh ，末為 E_末=½mv²－mgH，而½mv²=mg(H+h)由此兩式可得：E_末=mgh　　 答案：A

(3)彈性勢(shì)能，發(fā)生彈性形變的物體而具有的勢(shì)能．高中階段不要求具體利用公式計(jì)算彈性勢(shì)能，但往往要根據(jù)功能關(guān)系利用其他形式能量的變化來(lái)求得彈性勢(shì)能的變化或某位置的彈性勢(shì)能．

4、 動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用

動(dòng)能定理和動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律的綜合應(yīng)用是力學(xué)問(wèn)題的難點(diǎn)，也是高考考查的重點(diǎn)，解決這類問(wèn)題關(guān)鍵是分清哪一過(guò)程中動(dòng)量守恒，哪一過(guò)程中應(yīng)用動(dòng)能定理、動(dòng)量定理

[例12]某地強(qiáng)風(fēng)的風(fēng)速約為v=20m/s,設(shè)空氣密度ρ=1.3kg/m³_,如果把通過(guò)橫截面積=20m²風(fēng)的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為電能,則利用上述已知量計(jì)算電功率的公式應(yīng)為P=_________,大小約為_____W(取一位有效數(shù)字)

E_k=子　　　　　　　　　 P=

[例13]兩個(gè)人要將質(zhì)量M＝1000 kg的小車沿一小型鐵軌推上長(zhǎng)L＝5 m,高h(yuǎn)＝1 m的斜坡頂端．已知車在任何情況下所受的摩擦阻力恒為車重的0.12倍，兩人能發(fā)揮的最大推力各為800 N.水平軌道足夠長(zhǎng)，在不允許使用別的工具的情況下，兩人能否將車剛好推到坡頂？如果能應(yīng)如何辦？(要求寫出分析和計(jì)算過(guò)程)(g取10 m/s ²)

解析:小車在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)所受摩擦力f

　　 f＝μMg＝0.12×1000×10N=1200 N

　　 兩人的最大推力F＝2×800 N＝1600 N

F＞f,人可在水平軌道上推動(dòng)小車加速運(yùn)動(dòng)，但小車在斜坡上時(shí)f+Mgsinθ＝1200 N+10000·1/5N＝3200 N＞F=1600 N

　　 可見兩人不可能將小車直接由靜止沿坡底推至坡頂．

　　 若兩人先讓小車在水平軌道上加速運(yùn)動(dòng)，再?zèng)_上斜坡減速運(yùn)動(dòng)，小車在水平軌道上運(yùn)動(dòng)最小距離為s

　　 (F一f)s十FL一fL一Mgh=0

　 答案:能將車剛好推到坡頂，先在水平面上推20 m，再推上斜坡．

試題展示

　　　　　　 機(jī)械能守恒定律

知識(shí)簡(jiǎn)析一、機(jī)械能

3、應(yīng)用動(dòng)能定理要注意的問(wèn)題

注意1．由于動(dòng)能的大小與參照物的選擇有關(guān)，而動(dòng)能定理是從牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)，因此應(yīng)用動(dòng)能定理解題時(shí)，動(dòng)能的大小應(yīng)選取地球或相對(duì)地球做勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體作參照物來(lái)確定．

[例6]如圖所示質(zhì)量為1kg的小物塊以5m/s的初速度滑上一塊原來(lái)靜止在水平面上的木板，木板質(zhì)量為4kg，木板與水平面間動(dòng)摩擦因數(shù)是0.02，經(jīng)過(guò)2S以后，木塊從木板另一端以1m/s相對(duì)于地的速度滑出，g取10m／s，求這一過(guò)程中木板的位移．

解析：設(shè)木塊與木板間摩擦力大小為f₁，木板與地面間摩擦力大小為f₂．

對(duì)木塊：一f₁t=mv_t一mv₀，得f₁=2 N

對(duì)木板：(f_l－f₂)t＝Mv,f₂＝μ(m+ M)g

得v＝0．5m/s　 對(duì)木板：(f_l－f₂)s=½Mv²，得 S=0·5 m　　 答案：0．5 m

注意2．用動(dòng)能定理求變力做功，在某些問(wèn)題中由于力F的大小的變化或方向變化，所以不能直接由W=Fscosα求出變力做功的值．此時(shí)可由其做功的結(jié)果--動(dòng)能的變化來(lái)求變?yōu)镕所做的功．

[例7]質(zhì)量為m的小球被系在輕繩一端，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球受到空氣阻力的作用．設(shè)某一時(shí)刻小球通過(guò)軌道的最低點(diǎn)，此時(shí)繩子的張力為7mg,此后小球繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)半個(gè)圓周恰能通過(guò)最高點(diǎn)，則在此過(guò)程中小球克服空氣阻力所做的功為()

　　 A.mgR/4　 　B. mgR/3　　 C. mgR/2　　 D.mgR

解析:小球在圓周運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)時(shí),設(shè)速度為v₁,則7mg－mg=mv₁₂/R……①

設(shè)小球恰能過(guò)最高點(diǎn)的速度為v₂,則mg=mv₂²/R……②

設(shè)設(shè)過(guò)半個(gè)圓周的過(guò)程中小球克服空氣阻力所做的功為W,由動(dòng)能定理得:－mg2R－W=½mv₂²－½mv₁²……③

由以上三式解得W=mgR/2.　 答案：C

　 說(shuō)明：該題中空氣阻力一般是變化的，又不知其大小關(guān)系，故只能根據(jù)動(dòng)能定理求功，而應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)初、末兩個(gè)狀態(tài)的動(dòng)能又要根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)求得不能直接套用，這往往是該類題目的特點(diǎn)．

注意3．區(qū)別動(dòng)量、動(dòng)能兩個(gè)物理概念．動(dòng)量、動(dòng)能都是描述物體某一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的狀態(tài)量，動(dòng)量是矢量，動(dòng)能是標(biāo)量．動(dòng)量的改變必須經(jīng)過(guò)一個(gè)沖量的過(guò)程，動(dòng)能的改變必須經(jīng)過(guò)一個(gè)做功的過(guò)程．動(dòng)量是矢量，它的改變包括大小和方向的改變或者其中之一的改變．而動(dòng)能是標(biāo)量，它的改變僅是數(shù)量的變化．動(dòng)量的數(shù)量與動(dòng)能的數(shù)量可以通過(guò)P²=2mE_K聯(lián)系在一起，對(duì)于同一物體來(lái)說(shuō)，動(dòng)能E_K變化了，動(dòng)量P必然變化了，但動(dòng)量變化了動(dòng)能不一定變化．例如動(dòng)量?jī)H僅是方向改變了，這樣動(dòng)能就不改變．對(duì)于不同的物體，還應(yīng)考慮質(zhì)量的多少．

[例8]動(dòng)量大小相等的兩個(gè)物體，其質(zhì)量之比為2：3，則其動(dòng)能之比為( B )

　　 A．2：3；　 B．3：2；　 C．4：9；　 D．9：4

解析：由E_k=可知，動(dòng)量大小相等的物體，其動(dòng)能與它們的質(zhì)量成反比，因此動(dòng)能的比應(yīng)為3：2．

[例9]在水平面上沿一條直線放兩個(gè)完全相同的小物體A和B，它們相距s，在B右側(cè)距B2s處有一深坑，如圖所示，現(xiàn)對(duì)A施以瞬間沖量，使物體A沿A、B連線以速度v₀開始向B運(yùn)動(dòng)．為使A與B能發(fā)生碰撞，且碰撞之后又不會(huì)落入右側(cè)深坑中，物體A、B與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)應(yīng)滿足什么條件？設(shè)A,B碰撞時(shí)間很短，A、B碰撞后不再分離．

解析:A與B相碰，則

A和B碰前速度v₁，,

A與B碰后共同速度v₂.mv₁=2mv₂,

AB不落入坑中,　 解得

綜上，μ應(yīng)滿足條件

[例10]如圖所示，兩個(gè)完全相同的質(zhì)量為m的木板A、B置于水平地面上它們的間距s =2.88m．質(zhì)量為2m 、大小可忽略的物塊C置于A板的左端． C與A之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₁=0.22， A、B與水平地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ₂=0.10， 最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動(dòng)摩擦力． 開始時(shí)， 三個(gè)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)給C施加一個(gè)水平向右，大小為的恒力F， 假定木板A、B碰撞時(shí)間極短且碰撞后粘連在一起．要使C最終不脫離木板，每塊木板的長(zhǎng)度至少應(yīng)為多少?

[分析]：這題重點(diǎn)是分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，我們必須看到A、B碰撞前A、C是相對(duì)靜止的，A、B碰撞后A、B速度相同，且作加速運(yùn)動(dòng)，而C的速度比A、B大，作減速運(yùn)動(dòng)，最終A、B、C達(dá)到相同的速度，此過(guò)程中當(dāng)C恰好從A的左端運(yùn)動(dòng)到B的右端的時(shí)候，兩塊木板的總長(zhǎng)度最短。

[解答]：設(shè)l為A或B板的長(zhǎng)度，A、C之間的滑動(dòng)摩擦力大小為f₁，A與水平面的滑動(dòng)摩擦力大小為f₂

　 ∵μ₁=0.22�！� μ₂=0.10

∴……①　 　　且…②

一開始A和C保持相對(duì)靜止,在F的作用下向右加速運(yùn)動(dòng).有 …③

A、B兩木板的碰撞瞬間，內(nèi)力的沖量遠(yuǎn)大于外力的沖量。由動(dòng)量守恒定律得mv₁=(m+m)v₂ …④

碰撞結(jié)束后到三個(gè)物體達(dá)到共同速度的相互作用過(guò)程中，設(shè)木板向前移動(dòng)的位移為s₁.

選三個(gè)物體構(gòu)成的整體為研究對(duì)象，外力之和為零，則 …⑤　

設(shè)A、B系統(tǒng)與水乎地面之間的滑動(dòng)摩擦力大小為f₃。對(duì)A、B系統(tǒng)，由動(dòng)能定理

　… ⑥　　 …⑦

對(duì)C物體，由動(dòng)能定理……… ⑧

由以上各式，再代人數(shù)據(jù)可得l=0.3(m)

注意4．動(dòng)量定理與動(dòng)能定理的區(qū)別，兩個(gè)定理分別描述了力對(duì)物體作用效應(yīng)，動(dòng)量定理描述了為對(duì)物體作用的時(shí)間積累效應(yīng)，使物體的動(dòng)量發(fā)生變化，且動(dòng)量定理是矢量武；而動(dòng)能定理描述了力對(duì)物體作用的空間積累效應(yīng)，使物體的動(dòng)能發(fā)生變化，動(dòng)能定理是標(biāo)量式。所以兩個(gè)定理分別從不同角度描述了為對(duì)物體作用的過(guò)程中，使物體狀態(tài)發(fā)生變化規(guī)律，在應(yīng)用兩個(gè)定理解決物理問(wèn)題晚要根據(jù)題目要求，選擇相應(yīng)的定理求解。

[例11]如圖所示，在光滑的水平面內(nèi)有兩個(gè)滑塊A和B，其質(zhì)量m_A＝6kg，m_B=3kg，它們之間用一根輕細(xì)繩相連．開始時(shí)繩子完全松弛，兩滑塊靠在一起，現(xiàn)用了3N的水平恒力拉A，使A先起動(dòng)，當(dāng)繩被瞬間繃直后，再拖動(dòng)B一起運(yùn)動(dòng)，在A塊前進(jìn)了0．75 m時(shí)，兩滑塊共同前進(jìn)的速度v=2/3m／s，求連接兩滑塊的繩長(zhǎng)．

解析：本題的關(guān)鍵在于“繩子瞬間繃直”時(shí)其張力可看成遠(yuǎn)大于外力F，所以可認(rèn)為A、B組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒．此過(guò)程相當(dāng)于完全非彈性碰撞，系統(tǒng)的機(jī)械能有損失．

根據(jù)題意，設(shè)繩長(zhǎng)為L(zhǎng)，以繩子繃直前的滑塊A為對(duì)象，由動(dòng)能定理得FL=½m_Av₁²①

繩繃直的瞬間，可以認(rèn)為T＞＞F，因此系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，m_Av₁＝(m_A十m_B)v₂②

對(duì)于繩繃直后，A、B組成的系統(tǒng)(看成一個(gè)整體)的共同運(yùn)動(dòng)過(guò)程，由動(dòng)能定理

F(0．75－L)＝½(m_A十m_B )v₁²－½(m_A十m_B)v₂²……③

由式①一③解得L＝0．25m　　 答案：0．25 m

　　 恒力作用下的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，凡不涉及加速度和時(shí)間的問(wèn)題，利用動(dòng)能定理求解一般比用牛頓定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解要簡(jiǎn)單的多．用動(dòng)能定理還能解決一些在中學(xué)應(yīng)用牛頓定律難以解決的變力做功的問(wèn)題、曲線運(yùn)動(dòng)等問(wèn)題．

[例1]如圖所示，質(zhì)量為m的物體與轉(zhuǎn)臺(tái)之間的摩擦系數(shù)為μ，物體與轉(zhuǎn)軸間距離為R，物體隨轉(zhuǎn)臺(tái)由靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到某值時(shí)，物體開始在轉(zhuǎn)臺(tái)上滑動(dòng)，此時(shí)轉(zhuǎn)臺(tái)已開始勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，這過(guò)程中摩擦力對(duì)物體做功為多少？

　 　解析：物體開始滑動(dòng)時(shí)，物體與轉(zhuǎn)臺(tái)間已達(dá)到最大靜摩擦力，這里認(rèn)為就是滑動(dòng)摩擦力μmg．

根據(jù)牛頓第二定律μmg=mv²/R……①　　　　　 由動(dòng)能定理得：W=½mv² ……②

由①②得：W=½μmgR，所以在這一過(guò)程摩擦力做功為½μmgR

點(diǎn)評(píng)：(1)一些變力做功，不能用 W＝ FScosθ求，應(yīng)當(dāng)善于用動(dòng)能定理．

(2)應(yīng)用動(dòng)能定理解題時(shí)，在分析過(guò)程的基礎(chǔ)上無(wú)須深究物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)過(guò)程中變化的細(xì)節(jié)，只須考慮整個(gè)過(guò)程的功量及過(guò)程始末的動(dòng)能．若過(guò)程包含了幾個(gè)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不同的分過(guò)程．即可分段考慮，也可整個(gè)過(guò)程考慮．但求功時(shí)，有些力不是全過(guò)程都作用的，必須根據(jù)不同情況分別對(duì)待求出總功．計(jì)算時(shí)要把各力的功連同符號(hào)(正負(fù))一同代入公式．

[例2]一質(zhì)量為m的物體．從h高處由靜止落下，然后陷入泥土中深度為Δh后靜止，求阻力做功為多少？

　　 提示：整個(gè)過(guò)程動(dòng)能增量為零，　　 則根據(jù)動(dòng)能定理mg(h+Δh)－W_f＝0

　　 所以W_f＝mg(h+Δh)　　 答案：mg(h+Δh)

規(guī)律方法　 1、動(dòng)能定理應(yīng)用的基本步驟

應(yīng)用動(dòng)能定理涉及一個(gè)過(guò)程，兩個(gè)狀態(tài)．所謂一個(gè)過(guò)程是指做功過(guò)程，應(yīng)明確該過(guò)程各外力所做的總功；兩個(gè)狀態(tài)是指初末兩個(gè)狀態(tài)的動(dòng)能．

動(dòng)能定理應(yīng)用的基本步驟是：

①選取研究對(duì)象，明確并分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程．

②分析受力及各力做功的情況，受哪些力？每個(gè)力是否做功？在哪段位移過(guò)程中做功？正功？負(fù)功？做多少功？求出代數(shù)和．

③明確過(guò)程始末狀態(tài)的動(dòng)能E_k1及E_K2

④列方程 W=E_K2一E_k1，必要時(shí)注意分析題目的潛在條件，補(bǔ)充方程進(jìn)行求解．

[例3]總質(zhì)量為M的列車沿水平直線軌道勻速前進(jìn)，其末節(jié)車廂質(zhì)量為m，中途脫節(jié)，司機(jī)發(fā)覺時(shí)，機(jī)車已行駛了L的距離，于是立即關(guān)閉油門，除去牽引力，設(shè)阻力與質(zhì)量成正比，機(jī)車的牽引力是恒定的，當(dāng)列車的兩部分都停止時(shí)，它們的距離是多少？

解析:此題用動(dòng)能定理求解比用運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)合牛頓第二定律求解簡(jiǎn)單．先畫出草圖如圖所示，標(biāo)明各部分運(yùn)動(dòng)位移(要重視畫草圖)；對(duì)車頭，脫鉤前后的全過(guò)程，根據(jù)動(dòng)能定理便可解得.

FL－μ(M－m)gS₁=－½(M－m)v₀²

對(duì)末節(jié)車廂，根據(jù)動(dòng)能定理有一μmgs₂＝－½mv₀²

而ΔS=S₁一S₂

由于原來(lái)列車勻速運(yùn)動(dòng)，所以F=μMg．

以上方程聯(lián)立解得ΔS=ML/ (M一m)．

說(shuō)明:對(duì)有關(guān)兩個(gè)或兩個(gè)以上的有相互作用、有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題,應(yīng)用動(dòng)能定理求解會(huì)很方便．最基本方法是對(duì)每個(gè)物體分別應(yīng)用動(dòng)能定理列方程，再尋找兩物體在受力、運(yùn)動(dòng)上的聯(lián)系，列出方程解方程組．

2、應(yīng)用動(dòng)能定理的優(yōu)越性

(1)由于動(dòng)能定理反映的是物體兩個(gè)狀態(tài)的動(dòng)能變化與其合力所做功的量值關(guān)系，所以對(duì)由初始狀態(tài)到終止?fàn)顟B(tài)這一過(guò)程中物體運(yùn)動(dòng)性質(zhì)、運(yùn)動(dòng)軌跡、做功的力是恒力還是變力等諸多問(wèn)題不必加以追究，就是說(shuō)應(yīng)用動(dòng)能定理不受這些問(wèn)題的限制．

(2)一般來(lái)說(shuō)，用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)求解的問(wèn)題，用動(dòng)能定理也可以求解，而且往往用動(dòng)能定理求解簡(jiǎn)捷．可是，有些用動(dòng)能定理能夠求解的問(wèn)題，應(yīng)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)卻無(wú)法求解．可以說(shuō)，熟練地應(yīng)用動(dòng)能定理求解問(wèn)題，是一種高層次的思維和方法，應(yīng)該增強(qiáng)用動(dòng)能定理解題的主動(dòng)意識(shí)．

(3)用動(dòng)能定理可求變力所做的功．在某些問(wèn)題中，由于力F的大小、方向的變化，不能直接用W=Fscosα求出變力做功的值，但可由動(dòng)能定理求解．

[例4]如圖所示，質(zhì)量為m的物體用細(xì)繩經(jīng)過(guò)光滑小孔牽引在光滑水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，拉力為某個(gè)值F時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)半徑為R，當(dāng)拉力逐漸減小到F/4時(shí)，物體仍做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半徑為2R，則外力對(duì)物體所做的功的大小是:

解析:設(shè)當(dāng)繩的拉力為F時(shí)，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為v₁，則有F=mv₁²/R……①

當(dāng)繩的拉力減為F/4時(shí)，小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度為v₂,則有F/4=mv₂²/2R……②

在繩的拉力由F減為F/4的過(guò)程中，繩的拉力所做的功為W=½mv₂²－½mv₁²=－¼FR

所以，繩的拉力所做的功的大小為FR/4,A選項(xiàng)正確．

說(shuō)明:用動(dòng)能定理求變力功是非常有效且普遍適用的方法．

[例5]質(zhì)量為m的飛機(jī)以水平v₀飛離跑道后逐漸上升,若飛機(jī)在此過(guò)程中水平速度保持不變,同時(shí)受到重力和豎直向上的恒定升力(該升力由其他力的合力提供,不含重力).今測(cè)得當(dāng)飛機(jī)在水平方向的位移為L(zhǎng)時(shí),它的上升高度為h,求(1)飛機(jī)受到的升力大小?(2)從起飛到上升至h高度的過(guò)程中升力所做的功及在高度h處飛機(jī)的動(dòng)能?

解析(1)飛機(jī)水平速度不變,L= v₀t,豎直方向的加速度恒定,h=½at²,消去t即得

由牛頓第二定律得:F=mg+ma=

(2)升力做功W=Fh=

在h處,v_t=at=,