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106. [2010 •江蘇卷]在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過點(diǎn)T()的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m>0,。

(1)設(shè)動點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；

(2)設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

(3)設(shè),求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))。

[解析] 本小題主要考查求簡單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識。考查運(yùn)算求解能力和探究問題的能力。

解：(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則：F(2，0)、B(3，0)、A(-3，0)。

由，得 化簡得。

故所求點(diǎn)P的軌跡為直線。

(2)將分別代入橢圓方程，以及得：M(2，)、N(，)

直線MTA方程為：，即，

直線NTB 方程為：，即。

聯(lián)立方程組，解得：，

所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。

(3)點(diǎn)T的坐標(biāo)為

直線MTA方程為：，即，

直線NTB 方程為：，即。

分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，

解得：、。

(方法一)當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：

　令，解得：。此時(shí)必過點(diǎn)D(1，0)；

當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D(1，0)。

所以直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)D(1，0)。

(方法二)若，則由及，得，

此時(shí)直線MN的方程為，過點(diǎn)D(1，0)。

若，則，直線MD的斜率，

直線ND的斜率，得，所以直線MN過D點(diǎn)。

因此，直線MN必過軸上的點(diǎn)(1，0)。

105. [2010 •廣東理數(shù)] 一條雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A₁,A₂，點(diǎn)，是雙曲線上不同的兩個動點(diǎn)。

　　 (1)求直線A₁P與A₂Q交點(diǎn)的軌跡E的方程式；

　　 (2)若過點(diǎn)H(0, h)(h>1)的兩條直線l₁和l₂與軌跡E都只有一個交點(diǎn)，且 _,求h的值。

故，即。

(2)設(shè)，則由知，。

將代入得

，即，

由與E只有一個交點(diǎn)知，，即

。

同理，由與E只有一個交點(diǎn)知，，消去得，即，從而，即。

104. [2010 •天津理數(shù)]已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4。

(1)　　　 求橢圓的方程；

(2)　　　 設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為()，點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，求的值

[解析]本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算和推理能力，滿分12分

解：(1)由，得，再由，得

由題意可知，

解方程組 得 a=2,b=1

所以橢圓的方程為

(2)由(1)可知A(-2,0)。設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為(x_1,,y₁),直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),

于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組

由方程組消去Y并整理，得

由得

設(shè)線段AB是中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為

以下分兩種情況：

(1)當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)。線段AB的垂直平分線為y軸，于是

(2)當(dāng)K時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為

令x=0，解得

由

整理得

綜上

103. [2010 •天津文數(shù)]已知橢圓(a>b>0)的離心率e=，連接橢圓的四個頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4.

(Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-a，0).

　　　 (i)若，求直線l的傾斜角；

　　　 (ii)若點(diǎn)Q在線段AB的垂直平分線上，且.求的值.

解：本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線的方程、兩點(diǎn)間的距離公式、直線的傾斜角、平面向量等基礎(chǔ)知識，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查綜合分析與運(yùn)算能力.滿分14分.

(Ⅰ)解：由e=，得.再由，解得a=2b.

由題意可知，即ab=2.

解方程組得a=2，b=1.

所以橢圓的方程為.

(Ⅱ)(i)解：由(Ⅰ)可知點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-2,0).設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為，直線l的斜率為k.則直線l的方程為y=k(x+2).

于是A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y并整理，得

.

由，得.從而.

所以.

由，得.

整理得，即，解得k=.

所以直線l的傾斜角為或.

(ii)解：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，由(i)得到M的坐標(biāo)為.

以下分兩種情況：

(1)當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,0)，線段AB的垂直平分線為y軸，于是

由，得。

(2)當(dāng)時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為。

令，解得。

由，，

，

整理得。故。所以。

綜上，或

102. [2010 •四川理數(shù)]已知定點(diǎn)A(－1，0)，F(2，0)，定直線l：x＝，不在x軸上的動點(diǎn)P與點(diǎn)F的距離是它到直線l的距離的2倍.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為E，過點(diǎn)F的直線交E于B、C兩點(diǎn)，直線AB、AC分別交l于點(diǎn)M、N

(1)求E的方程；

(2)試判斷以線段MN為直徑的圓是否過點(diǎn)F，并說明理由.

本小題主要考察直線、軌跡方程、雙曲線等基礎(chǔ)知識，考察平面機(jī)襲擊和的思想方法及推理運(yùn)算能力.

解：(1)設(shè)P(x,y)，則

化簡得x²－=1(y≠0)

　(2)①當(dāng)直線BC與x軸不垂直時(shí)，設(shè)BC的方程為y＝k(x－2)(k≠0)

與雙曲線x²－=1聯(lián)立消去y得

(3－k)²x²+4k²x－(4k²+3)＝0

由題意知3－k²≠0且△＞0

設(shè)B(x₁,y₁),C(x₂,y₂)，

則

y₁y₂＝k²(x₁－2)(x₂－2)＝k²[x₁x₂－2(x₁+x₂)+4]

　 ＝k²(+4)

　 ＝

因?yàn)?i>x₁、x₂≠－1

所以直線AB的方程為y＝(x+1)

因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為()

,同理可得

因此

　　　　　　 ＝

　　　　　　 ＝0

②當(dāng)直線BC與x軸垂直時(shí)，起方程為x＝2，則B(2,3),C(2,－3)

AB的方程為y＝x+1,因此M點(diǎn)的坐標(biāo)為()，

同理可得

因此＝0

綜上＝0，即FM⊥FN

故以線段MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F

101. [2010•北京理數(shù)]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.

(Ⅰ)求動點(diǎn)P的軌跡方程；

(Ⅱ)設(shè)直線AP和BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M,N，問：是否存在點(diǎn)P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。

解：(I)因?yàn)辄c(diǎn)B與A關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以點(diǎn)得坐標(biāo)為.

　　 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

　　 由題意得

　　 化簡得　 .

　　 故動點(diǎn)的軌跡方程為

(II)解法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，得坐標(biāo)分別為,.

　 則直線的方程為，直線的方程為

令得，.

于是得面積

又直線的方程為，，

點(diǎn)到直線的距離.

于是的面積

當(dāng)時(shí)，得

又，

所以=，解得。

因?yàn)?sub>，所以

故存在點(diǎn)使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

解法二：若存在點(diǎn)使得與的面積相等，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為

　　　 則.

　　　 因?yàn)?sub>,

　　　 所以

　　　 所以

　　　 即 ，解得

　　　 因?yàn)?sub>，所以

　　　 故存在點(diǎn)S使得與的面積相等，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.

100. [2010•北京文數(shù)]已知橢圓C的左、右焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是，，離心率是，直線y=t橢圓C交與不同的兩點(diǎn)M，N，以線段為直徑作圓P,圓心為P。

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標(biāo)；

(Ⅲ)設(shè)Q(x，y)是圓P上的動點(diǎn)，當(dāng)t變化時(shí)，求y的最大值。

解：(Ⅰ)因?yàn)?sub>，且，所以

所以橢圓C的方程為

(Ⅱ)由題意知

由　 得

所以圓P的半徑為

解得　　　　　 所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0，)

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，圓P的方程。因?yàn)辄c(diǎn)在圓P上。所以

設(shè)，則

當(dāng)，即，且，取最大值2.

99. [2010•安徽文數(shù)]橢圓經(jīng)過點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，

焦點(diǎn)在軸上，離心率。

　　 (Ⅰ)求橢圓的方程；

(Ⅱ)求的角平分線所在直線的方程。

[解析](1)設(shè)橢圓方程為，把點(diǎn)代入橢圓方程，把離心率用表示，再根據(jù)，求出，得橢圓方程；(2)可以設(shè)直線l上任一點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等得.

解：(Ⅰ)設(shè)橢圓E的方程為

[規(guī)律總結(jié)]對于橢圓解答題，一般都是設(shè)橢圓方程為，根據(jù)題目滿足的條件求出，得橢圓方程，這一問通常比較簡單；(2)對于角平分線問題，利用角平分線的幾何意義，即角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等得方程.

98. [2010•江西理數(shù)]設(shè)橢圓，拋物線。

(1)　　　 若經(jīng)過的兩個焦點(diǎn)，求的離心率；

(2)　　　 設(shè)A(0，b)，,又M、N為與不在y軸上的兩個交點(diǎn)，若△AMN的垂心為，且△QMN的重心在上，求橢圓和拋物線的方程。

解：考查橢圓和拋物線的定義、基本量，通過交點(diǎn)三角形來確認(rèn)方程。

(1)由已知橢圓焦點(diǎn)(c,0)在拋物線上，可得：，由

。

(2)由題設(shè)可知M、N關(guān)于y軸對稱，設(shè),由的垂心為B，有

。

　　　 由點(diǎn)在拋物線上，，解得：

故，得重心坐標(biāo).

　　 由重心在拋物線上得：，，又因?yàn)镸、N在橢圓上得：，橢圓方程為，拋物線方程為。

97. [2010 •遼寧理數(shù)]設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60^o,.

(I)　　　　　　　　　 求橢圓C的離心率；

(II)　　　　　　　　 如果|AB|=，求橢圓C的方程.

解：設(shè)，由題意知＜0，＞0.

(Ⅰ)直線l的方程為　 ，其中.

聯(lián)立得

解得

因?yàn)?sub>，所以.

即

得離心率 .　　　　　　　　　　

(Ⅱ)因?yàn)?sub>，所以.

由得.所以，得a=3，.

橢圓C的方程為.