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2、m<0,n>0時(shí)，的值是(　　 )

(A)　　　　　　 (B)0　　　　　　 (C)1　　　　　 (D)

1、是函數(shù)在點(diǎn)x_o處存在極限的(　)

(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件　 (C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件

2、函數(shù)的連續(xù)性

(1)函數(shù)連續(xù)性的概念:

①如果函數(shù)f(x)在x=x₀處及其附近有定義,而且,就說(shuō)函數(shù)f(x)在x=x₀處連續(xù)。

注：函數(shù)f(x)在x=x₀處連續(xù)必須具備三個(gè)條件：Ⅰ)函數(shù)f(x)在x=x₀處及其附近有定義；Ⅱ)函數(shù)f(x)在x=x₀處有極限；Ⅲ)函數(shù)f(x)在x=x₀處的極限值等于這一點(diǎn)處的函數(shù)值f(x₀)。

②右連續(xù)(或左連續(xù))：如果函數(shù)f(x)在x=x₀處及其右側(cè)(或左側(cè))有定義，而且(或)。

③若函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),且在a點(diǎn)右連續(xù)，b點(diǎn)左連續(xù)，則稱(chēng)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)。

注：函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，只要求在(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)即可，對(duì)在端點(diǎn)處是否連續(xù)不要求。

(2)函數(shù)連續(xù)性的運(yùn)算:

①若f(x)，g(x)都在點(diǎn)x₀處連續(xù)，則f(x)±g(x)，f(x)•g(x)，(g(x)≠0)也在點(diǎn)x₀處連續(xù)。

②若u(x)都在點(diǎn)x₀處連續(xù)，且f(u)在u₀=u(x₀)處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)f[u(x)]在點(diǎn)x₀處連續(xù)。

(3)初等函數(shù)的連續(xù)性:

①基本初等函數(shù)(指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等)在定義域里每一點(diǎn)處都連續(xù)。

②基本初等函數(shù)及常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)送所得到的函數(shù)，都是初等函數(shù)，初等函數(shù)在其定義域里每一點(diǎn)處的極限都等于該點(diǎn)的函數(shù)值。

(3)

圖甲表示的是f(x)在點(diǎn)x₀處的左、右極限存在但不相等，即不存在

圖乙表示的是f(x)在點(diǎn)x₀處的左極限存在、右極限不存在，也屬于不存在

圖丙表示的是存在，但函數(shù)f(x)在點(diǎn)x₀處沒(méi)有定義

圖丁表示的是存在，但它不等于函數(shù)f(x)在點(diǎn)x₀處的函數(shù)值。

注意：函數(shù)f(x)在x=x₀處連續(xù)與函數(shù)f(x)在x=x₀處有極限的聯(lián)系與區(qū)別�！斑B續(xù)必有極限，有極限未必連續(xù)�！�

1、函數(shù)的極限

1) 當(dāng)x→∞時(shí)函數(shù)f(x)的極限:

1；2； 3

　　 當(dāng)自變量x取正值并且無(wú)限增大時(shí),如果函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a,就說(shuō)當(dāng)x趨向于正無(wú)窮大時(shí), 函數(shù)f(x)的極限是a,記作,(或x→+∞時(shí),f(x)→a)

當(dāng)自變量x取負(fù)值并且無(wú)限增大時(shí),如果函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于一個(gè)常數(shù)a,就說(shuō)當(dāng)x趨向于負(fù)無(wú)窮大時(shí), 函數(shù)f(x)的極限是a,記作,(或x→-∞時(shí),f(x)→a)

注：自變量x→+∞和x→-∞都是單方向的，而x→∞是雙向的，故有以下等價(jià)命題

令，分別求

2) 當(dāng)x→x₀時(shí)函數(shù)f(x)的極限:

1； 2； 3

如果當(dāng)x從點(diǎn)x=x₀左側(cè)(即x＜x₀)無(wú)限趨近于x₀時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于常數(shù)a。就說(shuō)a是函數(shù)f(x)的左極限，記作。

如果當(dāng)x從點(diǎn)x=x₀右側(cè)(即x＞x₀)無(wú)限趨近于x₀時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)限趨近于常數(shù)a。就說(shuō)a是函數(shù)f(x)的右極限，記作。

注：1與函數(shù)f(x)在點(diǎn)x₀處是否有定義及是否等于f(x₀)都無(wú)關(guān)。

2。并且可作為一個(gè)判斷函數(shù)在一點(diǎn)處有無(wú)極限的重要工具。

注：極限不存在的三種形態(tài)：①左極限不等于右極限；②時(shí)，，③時(shí)，的值不唯一。

4)函數(shù)極限的運(yùn)算法則：

若，，那么；；

；；。

注：以上規(guī)則對(duì)于x→∞的情況仍然成立。

5)兩個(gè)重要的極限：；和一個(gè)法則：羅必塔法則：

2、平板車(chē)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)比較復(fù)雜，只要去每次向左運(yùn)動(dòng)的路程的兩倍即可。而向左是勻減速的，故

第一次：S₁ =

第二次：S₂ = 　=

第三次：S₃ = 　=

……

n次碰墻的總路程是：

ΣS = 2( S₁ + S₂ + S₃ + … + S_n )= ( 1 + 　+ 　+ … + 　)

　 = ( 1 + 　+ 　+ … + 　)

碰墻次數(shù)n→∞，代入其它數(shù)字，得：ΣS = 4.05 m

(學(xué)生活動(dòng))質(zhì)量為M 、程度為L(zhǎng)的木板固定在光滑水平面上，另一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊以水平初速v₀沖上木板，恰好能從木板的另一端滑下。現(xiàn)解除木板的固定(但無(wú)初速)，讓相同的滑塊再次沖上木板，要求它仍能從另一端滑下，其初速度應(yīng)為多少？

解：由第一過(guò)程，得滑動(dòng)摩擦力f = 　。

第二過(guò)程應(yīng)綜合動(dòng)量和能量關(guān)系(“恰滑下”的臨界是：滑塊達(dá)木板的另一端，和木板具有共同速度，設(shè)為v )，設(shè)新的初速度為

m =( m + M )v

m - ( m + M )v² = fL

解以上三式即可。

答：= v₀ 。

物理情形：如圖17所示，在光滑的水平面上，質(zhì)量為M = 1 kg的平板車(chē)左端放有質(zhì)量為m = 2 kg的鐵塊，鐵塊與車(chē)之間的摩擦因素μ= 0.5 。開(kāi)始時(shí)，車(chē)和鐵塊以共同速度v = 6 m/s向右運(yùn)動(dòng)，車(chē)與右邊的墻壁發(fā)生正碰，且碰撞是彈性的。車(chē)身足夠長(zhǎng)，使鐵塊不能和墻相碰。重力加速度g = 10 m/s² ，試求：1、鐵塊相對(duì)車(chē)運(yùn)動(dòng)的總路程；2、平板車(chē)第一次碰墻后所走的總路程。

模型分析：本模型介紹有兩對(duì)相互作用時(shí)的處理常規(guī)。能量關(guān)系介紹摩擦生熱定式的應(yīng)用。由于過(guò)程比較復(fù)雜，動(dòng)量分析還要輔助以動(dòng)力學(xué)分析，綜合程度較高。

由于車(chē)與墻壁的作用時(shí)短促而激烈的，而鐵塊和車(chē)的作用是舒緩而柔和的，當(dāng)兩對(duì)作用同時(shí)發(fā)生時(shí)，通常處理成“讓短時(shí)作用完畢后，長(zhǎng)時(shí)作用才開(kāi)始”(這樣可以使問(wèn)題簡(jiǎn)化)。在此處，車(chē)與墻壁碰撞時(shí)，可以認(rèn)為鐵塊與車(chē)的作用尚未發(fā)生，而是在車(chē)與墻作用完了之后，才開(kāi)始與鐵塊作用。

規(guī)定向右為正向，將矢量運(yùn)算化為代數(shù)運(yùn)算。

車(chē)第一次碰墻后，車(chē)速變?yōu)椋璿 ，然后與速度仍為v的鐵塊作用，動(dòng)量守恒，作用完畢后，共同速度v₁ = 　= 　，因方向?yàn)檎�，必朝墻運(yùn)動(dòng)。

(學(xué)生活動(dòng))車(chē)會(huì)不會(huì)達(dá)共同速度之前碰墻？動(dòng)力學(xué)分析：車(chē)離墻的最大位移S = ,反向加速的位移S′= ，其中a = a₁ = ，故S′＜ S ，所以，車(chē)碰墻之前，必然已和鐵塊達(dá)到共同速度v₁ 。

車(chē)第二次碰墻后，車(chē)速變?yōu)椋璿₁ ，然后與速度仍為v₁的鐵塊作用，動(dòng)量守恒，作用完畢后，共同速度v₂ = 　= 　= ，因方向?yàn)檎�，必朝墻運(yùn)動(dòng)。

車(chē)第三次碰墻，……共同速度v₃ = 　= ，朝墻運(yùn)動(dòng)。

……

以此類(lèi)推，我們可以概括鐵塊和車(chē)的運(yùn)動(dòng)情況--

鐵塊：勻減速向右→勻速向右→勻減速向右→勻速向右……

平板車(chē)：勻減速向左→勻加速向右→勻速向右→勻減速向左→勻加速向右→勻速向右……

顯然，只要車(chē)和鐵塊還有共同速度，它們總是要碰墻，所以最后的穩(wěn)定狀態(tài)是：它們一起停在墻角(總的末動(dòng)能為零)。

1、全程能量關(guān)系：對(duì)鐵塊和車(chē)系統(tǒng)，－ΔE_k =ΔE_內(nèi) ，且，ΔE_內(nèi) = f_滑 S_相 ，

即：(m + M)v² = μmg·S_相

代入數(shù)字得：S_相 = 5.4 m

3、由 = 　+ 解v₁ ，得：v₁ =

v₁的方向：和水平方向成α角，α= arctg = arctg()

這就是最后的解。

(一個(gè)附屬結(jié)果：質(zhì)點(diǎn)相對(duì)半球的瞬時(shí)角速度 ω = 　= 　。)

2、代入③式解v₂ ，得：v₂ =

1、由①、②式得：v_1x = v₂ ，　　　　 v_1y = (tgθ) v₂　

3、將v₁ 、v的替代式代入①式解v₂即可。結(jié)果：v₂ =

(學(xué)生活動(dòng))思考：球形鉸鏈觸地前一瞬，左球、鉸鏈和右球的速度分別是多少？

解：由兩桿不可形變，知三球的水平速度均為零，θ為零。一個(gè)能量方程足以解題。

答：0 、 、0 。

(學(xué)生活動(dòng))思考：當(dāng)兩桿夾角為90°時(shí)，右邊小球的位移是多少？

解：水平方向用“反沖位移定式”，或水平方向用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律。

答： 。

進(jìn)階應(yīng)用：在本講模型“四、反沖……”的“進(jìn)階應(yīng)用”(見(jiàn)圖8)中，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)m滑到方位角θ時(shí)(未脫離半球)，質(zhì)點(diǎn)的速度v的大小、方向怎樣？

解說(shuō)：此例綜合應(yīng)用運(yùn)動(dòng)合成、動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒知識(shí)，數(shù)學(xué)運(yùn)算比較繁復(fù)，是一道考查學(xué)生各種能力和素質(zhì)的難題。

據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成，有：

　= 　+ 　= 　-

其中必然是沿地面向左的，為了書(shū)寫(xiě)方便，我們?cè)O(shè)其大小為v₂ ；必然是沿半球瞬時(shí)位置切線(xiàn)方向(垂直瞬時(shí)半徑)的，設(shè)大小為v_相 。根據(jù)矢量減法的三角形法則，可以得到(設(shè)大小為v₁)的示意圖，如圖16所示。同時(shí)，我們將v₁的x、y分量v_1x和v_1y也描繪在圖中。

由圖可得：v_1y =(v₂ + v_1x)tgθ　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

質(zhì)點(diǎn)和半球系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，有：Mv₂ = mv_1x　　　　　　　　 ②

對(duì)題設(shè)過(guò)程，質(zhì)點(diǎn)和半球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：mgR(1-cosθ) = M + m ，即：

mgR(1-cosθ) = M + m( + )　　　　　　　　　　 ③

三個(gè)方程，解三個(gè)未知量(v₂ 、v_1x 、v_1y)是可行的，但數(shù)學(xué)運(yùn)算繁復(fù)，推薦步驟如下--