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2、在回到③、④兩式，得：

v₁ = v₂ ,　 v = v₂

物理情形：如圖14所示，兩根長(zhǎng)度均為L(zhǎng)的剛性輕桿，一端通過(guò)質(zhì)量為m的球形鉸鏈連接，另一端分別與質(zhì)量為m和2m的小球相連。將此裝置的兩桿合攏，鉸鏈在上、豎直地放在水平桌面上，然后輕敲一下，使兩小球向兩邊滑動(dòng)，但兩桿始終保持在豎直平面內(nèi)。忽略一切摩擦，試求：兩桿夾角為90°時(shí)，質(zhì)量為2m的小球的速度v₂ 。

模型分析：三球系統(tǒng)機(jī)械能守恒、水平方向動(dòng)量守恒，并注意約束關(guān)系--兩桿不可伸長(zhǎng)。

(學(xué)生活動(dòng))初步判斷：左邊小球和球形鉸鏈的速度方向會(huì)怎樣？

設(shè)末態(tài)(桿夾角90°)左邊小球的速度為v₁(方向：水平向左)，球形鉸鏈的速度為v(方向：和豎直方向夾θ角斜向左)，

對(duì)題設(shè)過(guò)程，三球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有：

mg( L-L) = m + mv² + 2m　　 ①

三球系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒，有：

mv₁ + mvsinθ= 2mv₂　　　　　　　　 ②

左邊桿子不形變，有：

v₁cos45°= vcos(45°-θ)　　　　　 ③

右邊桿子不形變，有：

vcos(45°+θ) = v₂cos45°　　　　 ④

四個(gè)方程，解四個(gè)未知量(v₁ 、v₂ 、v和θ)，是可行的。推薦解方程的步驟如下--

1、③、④兩式用v₂替代v₁和v ，代入②式，解θ值，得：tgθ= 1/4

物理情形：如圖13所示，直角形的剛性桿被固定，水平和豎直部分均足夠長(zhǎng)。質(zhì)量分別為m₁和m₂的A、B兩個(gè)有孔小球，串在桿上，且被長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕繩相連。忽略兩球的大小，初態(tài)時(shí)，認(rèn)為它們的位置在同一高度，且繩處于拉直狀態(tài)�，F(xiàn)無(wú)初速地將系統(tǒng)釋放，忽略一切摩擦，試求B球運(yùn)動(dòng)L/2時(shí)的速度v₂ 。

模型分析：A、B系統(tǒng)機(jī)械能守恒。A、B兩球的瞬時(shí)速度不等，其關(guān)系可據(jù)“第三部分”知識(shí)介紹的定式(滑輪小船)去尋求。

(學(xué)生活動(dòng))A球的機(jī)械能是否守恒？B球的機(jī)械能是否守恒？系統(tǒng)機(jī)械能守恒的理由是什么(兩法分析：a、“微元法”判斷兩個(gè)W_T的代數(shù)和為零；b、無(wú)非彈性碰撞，無(wú)摩擦，沒(méi)有其它形式能的生成)？

由“拓展條件”可以判斷，A、B系統(tǒng)機(jī)械能守恒，(設(shè)末態(tài)A球的瞬時(shí)速率為v₁ )過(guò)程的方程為：

m₂g = 　+ 　　　　　�、�

在末態(tài)，繩與水平桿的瞬時(shí)夾角為30°，設(shè)繩子的瞬時(shí)遷移速率為v ，根據(jù)“第三部分”知識(shí)介紹的定式，有：

v₁ = v/cos30°, v₂ = v/sin30°

兩式合并成：v₁ = v₂ tg30°= v₂/　　 ②

解①、②兩式，得：v₂ =

4、如圖10所示，雙手用等大反向的力F壓固定汽缸兩邊的活塞，活塞移動(dòng)相同距離S，汽缸中封閉氣體被壓縮。施力者(人)是否做功？

在以上四個(gè)事例中，S若取作用點(diǎn)位移，只有第1、2、4例是做功的(注意第3例，樓梯支持力的作用點(diǎn)并未移動(dòng)，而只是在不停地交換作用點(diǎn))，S若取物體(受力者)質(zhì)心位移，只有第2、3例是做功的，而且，盡管第2例都做了功，數(shù)字并不相同。所以，用不同的判據(jù)得出的結(jié)論出現(xiàn)了本質(zhì)的分歧。

面對(duì)這些似是而非的“疑難雜癥”，我們先回到“做功是物體能量轉(zhuǎn)化的量度”這一根本點(diǎn)。

第1例，手和講臺(tái)面摩擦生了熱，內(nèi)能的生成必然是由人的生物能轉(zhuǎn)化而來(lái)，人肯定做了功。S宜取作用點(diǎn)的位移；

第2例，求拉力的功，在前面已經(jīng)闡述，S取作用點(diǎn)位移為佳；

第3例，樓梯不需要輸出任何能量，不做功，S取作用點(diǎn)位移；

第4例，氣體內(nèi)能的增加必然是由人輸出的，壓力做功，S取作用點(diǎn)位移。

但是，如果分別以上四例中的受力者用動(dòng)能定理，第1例，人對(duì)講臺(tái)不做功，S取物體質(zhì)心位移；第2例，動(dòng)能增量對(duì)應(yīng)S取L/2時(shí)的值--物體質(zhì)心位移；第4例，氣體宏觀動(dòng)能無(wú)增量，S取質(zhì)心位移。(第3例的分析暫時(shí)延后。)

以上分析在援引理論知識(shí)方面都沒(méi)有錯(cuò)，如何使它們統(tǒng)一？原來(lái)，功的概念有廣義和狹義之分。在力學(xué)中，功的狹義概念僅指機(jī)械能轉(zhuǎn)換的量度；而在物理學(xué)中功的廣義概念指除熱傳遞外的一切能量轉(zhuǎn)換的量度。所以功也可定義為能量轉(zhuǎn)換的量度。一個(gè)系統(tǒng)總能量的變化，常以系統(tǒng)對(duì)外做功的多少來(lái)量度。能量可以是機(jī)械能、電能、熱能、化學(xué)能等各種形式，也可以多種形式的能量同時(shí)發(fā)生轉(zhuǎn)化。由此可見(jiàn)，上面分析中，第一個(gè)理論對(duì)應(yīng)的廣義的功，第二個(gè)理論對(duì)應(yīng)的則是狹義的功，它們都沒(méi)有錯(cuò)誤，只是在現(xiàn)階段的教材中還沒(méi)有將它們及時(shí)地區(qū)分開(kāi)來(lái)而已。

而且，我們不難歸納：求廣義的功，S取作用點(diǎn)的位移；求狹義的功，S取物體(質(zhì)心)位移。

那么我們?cè)诮忸}中如何處理呢？這里給大家?guī)�點(diǎn)建議： 1、抽象地講“某某力做的功”一般指廣義的功；2、講“力對(duì)某物體做的功”常常指狹義的功；3、動(dòng)能定理中的功肯定是指狹義的功。

當(dāng)然，求解功地問(wèn)題時(shí)，還要注意具體問(wèn)題具體分析。如上面的第3例，就相對(duì)復(fù)雜一些。如果認(rèn)為所求為狹義的功，S取質(zhì)心位移，是做了功，但結(jié)論仍然是難以令人接受的。下面我們來(lái)這樣一個(gè)處理：將復(fù)雜的形變物體(人)看成這樣一個(gè)相對(duì)理想的組合：剛性物體下面連接一壓縮的彈簧(如圖11所示)，人每一次蹬梯，腿伸直將軀體重心上舉，等效為彈簧將剛性物體舉起。這樣，我們就不難發(fā)現(xiàn)，做功的是人的雙腿而非地面，人既是輸出能量(生物能)的機(jī)構(gòu)，也是得到能量(機(jī)械能)的機(jī)構(gòu)--這里的物理情形更象是一種生物情形。本題所求的功應(yīng)理解為廣義功為宜。

以上四例有一些共同的特點(diǎn)：要么，受力物體情形比較復(fù)雜(形變，不能簡(jiǎn)單地看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。如第2、第3、第4例)，要么，施力者和受力者之間的能量轉(zhuǎn)化不是封閉的(涉及到第三方，或機(jī)械能以外的形式。如第1例)。以后，當(dāng)遇到這樣的問(wèn)題時(shí)，需要我們慎重對(duì)待。

(學(xué)生活動(dòng))思考：足夠長(zhǎng)的水平傳送帶維持勻速v運(yùn)轉(zhuǎn)。將一袋貨物無(wú)初速地放上去，在貨物達(dá)到速度v之前，與傳送帶的摩擦力大小為f ，對(duì)地的位移為S 。試問(wèn)：求摩擦力的功時(shí)，是否可以用W = fS ？

解：按一般的理解，這里應(yīng)指廣義的功(對(duì)應(yīng)傳送帶引擎輸出的能量)，所以“位移”取作用點(diǎn)的位移。注意，在此處有一個(gè)隱含的“交換作用點(diǎn)”的問(wèn)題，仔細(xì)分析，不難發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)(相對(duì)皮帶不動(dòng)的)作用點(diǎn)的位移為2S 。(另解：求貨物動(dòng)能的增加和與皮帶摩擦生熱的總和。)

答：否。

(學(xué)生活動(dòng))思考：如圖12所示，人站在船上，通過(guò)拉一根固定在鐵樁的纜繩使船靠岸。試問(wèn)：纜繩是否對(duì)船和人的系統(tǒng)做功？

解：分析同上面的“第3例”。

答：否。

3、人登靜止的樓梯，從一樓到二樓。樓梯是否做功？

2、在本“部分”第3頁(yè)圖1的模型中，求拉力做功時(shí)，S是否可以取繩子質(zhì)心的位移？

在求解功的問(wèn)題時(shí)，有時(shí)遇到力的作用點(diǎn)位移與受力物體的(質(zhì)心)位移不等，S是取力的作用點(diǎn)的位移，還是取物體(質(zhì)心)的位移呢？我們先看下面一些事例。

1、如圖9所示，人用雙手壓在臺(tái)面上推講臺(tái)，結(jié)果雙手前進(jìn)了一段位移而講臺(tái)未移動(dòng)。試問(wèn)：人是否做了功？

物理情形：如圖4所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)、質(zhì)量為M的船停止在靜水中(但未拋錨)，船頭上有一個(gè)質(zhì)量為m的人，也是靜止的。現(xiàn)在令人在船上開(kāi)始向船尾走動(dòng)，忽略水的阻力，試問(wèn)：當(dāng)人走到船尾時(shí)，船將會(huì)移動(dòng)多遠(yuǎn)？

(學(xué)生活動(dòng))思考：人可不可能勻速(或勻加速)走動(dòng)？當(dāng)人中途停下休息，船有速度嗎？人的全程位移大小是L嗎？本系統(tǒng)選船為參照，動(dòng)量守恒嗎？

模型分析：動(dòng)量守恒展示了已知質(zhì)量情況下的速度關(guān)系，要過(guò)渡到位移關(guān)系，需要引進(jìn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的相關(guān)規(guī)律。根據(jù)實(shí)際情況(人必須停在船尾)，人的運(yùn)動(dòng)不可能是勻速的，也不可能是勻加速的,運(yùn)動(dòng)學(xué)的規(guī)律應(yīng)選擇S = t 。為尋求時(shí)間t ，則要抓人和船的位移約束關(guān)系。

對(duì)人、船系統(tǒng)，針對(duì)“開(kāi)始走動(dòng)→中間任意時(shí)刻”過(guò)程，應(yīng)用動(dòng)量守恒(設(shè)末態(tài)人的速率為v ，船的速率為V)，令指向船頭方向?yàn)檎�向，則矢量關(guān)系可以化為代數(shù)運(yùn)算，有：

0 = MV + m(-v)

即：mv = MV

由于過(guò)程的末態(tài)是任意選取的，此式展示了人和船在任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度大小關(guān)系。而且不難推知，對(duì)中間的任一過(guò)程，兩者的平均速度也有這種關(guān)系。即：

m = M　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ①

設(shè)全程的時(shí)間為t ，乘入①式兩邊，得：mt = Mt

設(shè)s和S分別為人和船的全程位移大小，根據(jù)平均速度公式，得：m s = M S　　　　 ②

受船長(zhǎng)L的約束，s和S具有關(guān)系：s + S = L　　　　　　　　　　　　　　　　　 ③

解②、③可得：船的移動(dòng)距離 S =L

(應(yīng)用動(dòng)量守恒解題時(shí)，也可以全部都用矢量關(guān)系，但這時(shí)“位移關(guān)系”表達(dá)起來(lái)難度大一些--必須用到運(yùn)動(dòng)合成與分解的定式。時(shí)間允許的話，可以做一個(gè)對(duì)比介紹。)

另解：質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律

人、船系統(tǒng)水平方向沒(méi)有外力，故系統(tǒng)質(zhì)心無(wú)加速度→系統(tǒng)質(zhì)心無(wú)位移。先求出初態(tài)系統(tǒng)質(zhì)心(用它到船的質(zhì)心的水平距離x表達(dá)。根據(jù)力矩平衡知識(shí)，得：x = )，又根據(jù)，末態(tài)的質(zhì)量分布與初態(tài)比較，相對(duì)整體質(zhì)心是左右對(duì)稱的。弄清了這一點(diǎn)后，求解船的質(zhì)心位移易如反掌。

(學(xué)生活動(dòng))思考：如圖5所示，在無(wú)風(fēng)的天空，人抓住氣球下面的繩索，和氣球恰能靜止平衡，人和氣球地質(zhì)量分別為m和M ，此時(shí)人離地面高h(yuǎn) �，F(xiàn)在人欲沿懸索下降到地面，試問(wèn)：要人充分安全地著地，繩索至少要多長(zhǎng)？

解：和模型幾乎完全相同，此處的繩長(zhǎng)對(duì)應(yīng)模型中的“船的長(zhǎng)度”(“充分安全著地”的含義是不允許人脫離繩索跳躍著地)。

答：h 。

(學(xué)生活動(dòng))思考：如圖6所示，兩個(gè)傾角相同的斜面，互相倒扣著放在光滑的水平地面上，小斜面在大斜面的頂端。將它們無(wú)初速釋放后，小斜面下滑，大斜面后退。已知大、小斜面的質(zhì)量分別為M和m ，底邊長(zhǎng)分別為a和b ，試求：小斜面滑到底端時(shí)，大斜面后退的距離。

解：水平方向動(dòng)量守恒。解題過(guò)程從略。

答：(a－b)。

進(jìn)階應(yīng)用：如圖7所示，一個(gè)質(zhì)量為M ，半徑為R的光滑均質(zhì)半球，靜置于光滑水平桌面上，在球頂有一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，由靜止開(kāi)始沿球面下滑。試求：質(zhì)點(diǎn)離開(kāi)球面以前的軌跡。

解說(shuō)：質(zhì)點(diǎn)下滑，半球后退，這個(gè)物理情形和上面的雙斜面問(wèn)題十分相似，仔細(xì)分析，由于同樣滿足水平方向動(dòng)量守恒，故我們介紹的“定式”是適用的。定式解決了水平位移(位置)的問(wèn)題，豎直坐標(biāo)則需要從數(shù)學(xué)的角度想一些辦法。

為尋求軌跡方程，我們需要建立一個(gè)坐標(biāo)：以半球球心O為原點(diǎn)，沿質(zhì)點(diǎn)滑下一側(cè)的水平軸為x坐標(biāo)、豎直軸為y坐標(biāo)。

由于質(zhì)點(diǎn)相對(duì)半球總是做圓周運(yùn)動(dòng)的(離開(kāi)球面前)，有必要引入相對(duì)運(yùn)動(dòng)中半球球心O′的方位角θ來(lái)表達(dá)質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)位置，如圖8所示。

由“定式”，易得：

x = Rsinθ　　　　　　　　　 ①

而由圖知：y = Rcosθ　　　　　　　　 ②

不難看出，①、②兩式實(shí)際上已經(jīng)是一個(gè)軌跡的參數(shù)方程。為了明確軌跡的性質(zhì)，我們可以將參數(shù)θ消掉，使它們成為：

　+ 　= 1

這樣，特征就明顯了：質(zhì)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)長(zhǎng)、短半軸分別為R和R的橢圓。

物理情形：在光滑的水平地面上，有一輛車，車內(nèi)有一個(gè)人和N個(gè)鉛球，系統(tǒng)原來(lái)處于靜止?fàn)顟B(tài)。現(xiàn)車內(nèi)的人以一定的水平速度將鉛球一個(gè)一個(gè)地向車外拋出，車子和人將獲得反沖速度。第一過(guò)程，保持每次相對(duì)地面拋球速率均為v ，直到將球拋完；第二過(guò)程，保持每次相對(duì)車子拋球速率均為v ，直到將球拋完。試問(wèn)：哪一過(guò)程使車子獲得的速度更大？

模型分析：動(dòng)量守恒定律必須選取研究對(duì)象之外的第三方(或第四、第五方)為參照物，這意味著，本問(wèn)題不能選車子為參照。一般選地面為參照系，這樣對(duì)“第二過(guò)程”的鉛球動(dòng)量表達(dá)，就形成了難點(diǎn)，必須引進(jìn)相對(duì)速度與絕對(duì)速度的關(guān)系。至于“第一過(guò)程”，比較簡(jiǎn)單：N次拋球和將N個(gè)球一次性拋出是完全等效的。

設(shè)車和人的質(zhì)量為M ，每個(gè)鉛球的質(zhì)量為m 。由于矢量的方向落在一條直線上，可以假定一個(gè)正方向后，將矢量運(yùn)算化為代數(shù)運(yùn)算。設(shè)車速方向?yàn)檎�，且第一過(guò)程獲得的速度大小為V₁ 第二過(guò)程獲得的速度大小為V₂ 。

第一過(guò)程，由于鉛球每次的動(dòng)量都相同，可將多次拋球看成一次拋出。車子、人和N個(gè)球動(dòng)量守恒。

0 = Nm(-v) + MV₁

得：V₁ = v　　　　　　　　　　　　　 　　　　�、�

第二過(guò)程，必須逐次考查鉛球與車子(人)的作用。

第一個(gè)球與(N–1)個(gè)球、人、車系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為u₁ 。值得注意的是，根據(jù)運(yùn)動(dòng)合成法則，鉛球?qū)Φ氐乃俣炔⒉皇?-v)，而是(-v + u₁)。它們動(dòng)量守恒方程為：

0 = m(-v + u₁) +(M +(N-1)m)u₁

得：u₁ =

第二個(gè)球與(N -2)個(gè)球、人、車系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為u₂ 。它們動(dòng)量守恒方程為：

(M+(N-1)m)u₁ = m(-v + u₂) +(M+(N-2)m)u₂

得：u₂ = 　+

第三個(gè)球與(N -2)個(gè)球、人、車系統(tǒng)作用，完畢后，設(shè)“系統(tǒng)”速度為u₃ 。鉛球?qū)Φ氐乃俣仁?-v + u₃)。它們動(dòng)量守恒方程為：

(M+(N-2)m)u₂ = m(-v + u₃) +(M+(N-3)m)u₃

得：u₃ = + 　+

以此類推(過(guò)程注意：先找u_N和u_N-1關(guān)系，再看u_N和v的關(guān)系，不要急于化簡(jiǎn)通分)……，u_N的通式已經(jīng)可以找出：

V₂ = u_N = 　+ 　+ 　+ … +

即：V₂ = 　　　　　　　　　　　　　　　�、�

我們?cè)賹ⅱ偈礁膶懗桑?/p>

V₁ = 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、佟�

不難發(fā)現(xiàn)，①′式和②式都有N項(xiàng)，每項(xiàng)的分子都相同，但①′式中每項(xiàng)的分母都比②式中的分母小，所以有：V₁ ＞ V₂ 。

結(jié)論：第一過(guò)程使車子獲得的速度較大。

(學(xué)生活動(dòng))思考：質(zhì)量為M的車上，有n個(gè)質(zhì)量均為m的人，它們靜止在光滑的水平地面上�，F(xiàn)在車上的人以相對(duì)車大小恒為v、方向水平向后的初速往車下跳。第一過(guò)程，N個(gè)人同時(shí)跳下；第二過(guò)程，N個(gè)人依次跳下。試問(wèn)：哪一次車子獲得的速度較大？

解：第二過(guò)程結(jié)論和上面的模型完全相同，第一過(guò)程結(jié)論為V₁ = 　。

答：第二過(guò)程獲得速度大。

3、最后對(duì)㈠㈡㈢式消I₁ 、I₂ ，解v₁就方便多了。結(jié)果為：

v₁ =

(學(xué)生活動(dòng)：訓(xùn)練解方程的條理和耐心)思考：v₂的方位角β等于多少？

解：解“二級(jí)式”的⑴⑵⑶即可。⑴代入⑵消I₁ ，得I₂的表達(dá)式，將I₂的表達(dá)式代入⑶就行了。

答：β= arc tg()。