Question

8．已知橢圓的兩個焦點為F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l：y=x+m，若l與橢圓交于P，Q兩點，且|PQ|等于橢圓的短軸長，求m 的值；
（3）若直線l：y=x+m，若l與橢圓交于兩個不同的點A和B，且使$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，問這樣的直線存在嗎？若存在求m的值，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的離心率公式和a，b，c的關系，可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消去y，運用韋達定理和弦長公式，解方程可得m；
（3）直線y=x+m代入橢圓方程，利用韋達定理，結合OA⊥OB⇒$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即可求m值．

解答 解：（1）由題意可得c=$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又b²=a²-c²=4-3=1，
即有橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
由題意得 $\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$⇒x²+4（m+x）²-4=0⇒5x²+8mx+4m²-4=0（*）
所以x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$，
由題意可得|PQ|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}•$$\sqrt{\frac{64{m}^{2}}{25}-\frac{16（{m}^{2}-1）}{5}}$=2，
解得m=±$\frac{\sqrt{30}}{4}$；
（3）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由題意得 $\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$⇒x²+4（m+x）²-4=0⇒5x²+8mx+4m²-4=0（*）
所以x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$，
y₁y₂=（m+x₁）（m+x₂）=m²+m（x₁+x₂）+x₁x₂=m²-$\frac{8}{5}$m²+$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$=$\frac{{m}^{2}-4}{5}$，
由OA⊥OB⇒$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，得x₁x₂+y₁y₂=0，
即為$\frac{4{m}^{2}-4}{5}$+$\frac{{m}^{2}-4}{5}$=0，解得m=±$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
又方程（*）要有兩個不等實根，△=（-8m）²-4×5（4m²-4）＞0，
-$\sqrt{5}$＜m＜$\sqrt{5}$，m的值符合上面條件．
所以m=±$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，聯(lián)立直線方程，運用韋達定理，以及弦長公式，和直線垂直的條件，化簡整理，屬于中檔題．