Question

17．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$ （a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，若中左焦點(diǎn)為F（-2，0）
（1）求橢圓C的方程
（2）若斜率為1的直線過橢圓C的右焦點(diǎn)且與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的長．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=2，再由離心率公式可得a，再由a，b，c關(guān)系可得b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）求得直線方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，計(jì)算即可得到弦長AB．

解答 解：（1）由左焦點(diǎn)F（-2，0），即c=2，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即有a=2$\sqrt{2}$，
又b²=a²-c²=4，
即有橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設(shè)直線L與橢圓交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由直線L的斜率為1且過右焦點(diǎn)（2，0），
即有直線方程為y=x-2，
將直線y=x-2代入$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1得3x²-8x=0，
x₁+x₂=$\frac{8}{3}$，x₁x₂=0，
即有|AB|=$\sqrt{（1+{k}^{2}）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2×\frac{64}{9}}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，屬于中檔題．