Question

19．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)．若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b．
①記“2≤a+b≤3”為事件A，求事件A的概率；
②在區(qū)間[0，2]內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x，y，求事件“x²+y²＞（a-b）²恒成立”的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率．列出方程．求解n的值；
（Ⅱ）①求出從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)球，的所有事件個(gè)數(shù)，滿足“2≤a+b≤3”為事件A的個(gè)數(shù)，然后求解概率；
②直接利用幾何概型，求解全部結(jié)果的區(qū)域面積與所求結(jié)果的區(qū)域面積，求解概率即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意共有小球n+2個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)．從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是$\frac{n}{n+2}$=$\frac{1}{2}$．解得n=2；
（Ⅱ）①?gòu)拇�子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b．共有12種結(jié)果，滿足“2≤a+b≤3”為事件A共有8種結(jié)果，故P（A）=$\frac{8}{12}$=$\frac{2}{3}$；
②由①可知（a-b）²≤4，故x²+y²＞4，（x，y）可以看成平面中點(diǎn)的坐標(biāo)，則則全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域Ω={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，由幾何概型可得概率為：P=$\frac{4-\frac{1}{4}π•{2}^{2}}{4}$=1-$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查古典概型以及幾何概型的概率的求法，基本知識(shí)的考查．